质数检验有不少算法，一般使用的质数检验复杂度是(O(sqrt{n}))；
又如线性筛可以在(O(n))的时间内求出所有1~n的质数
但是，当n非常大，连(O(sqrt{n}))的复杂度也难以接受时，上述算法便不能满足要求
这篇blog记录了一些关于Miller_Rabin算法的内容
大家都知道的著名的费马小定理：
其中(a,p)互质
我们猜想，任意选取(a)，如果一个数(p)满足以上式子，那么它就很有可能是一个质数
但是这个猜想很容易找到反例：(a=2)，(p=341,561, 645, 1105)时，费马小定理逆命题不成立，人们把(a^{p-1}equiv1pmod p)的合数称为以(a)为底的“伪素数”
在([1,10^9])中，质数一共有(50847534)个，而满足(2^{p-1}equiv1pmod p)的合数(p)有(5597)个，算法出错的概率太高了
一个想法是，同时使用多个a来进行判断，例如同时检验(a=2,3)
在([1,10^9])中，同时以(2,3)为底的伪素数只有(1272)个，不到以2为底的(frac{1}{4})
选取的(a)越多时，算法越准确，这便是费马素性检验
（以下内容引自Matrix67的博客）
人们自然会想，如果考虑了所有小于n的底数a，出错的概率是否就可以降到0呢？没想到的是，居然就有这样的合数，它可以通过所有a的测试（这个说法不准确，详见我在地核楼层的回复）。Carmichael第一个发现这样极端的伪素数，他把它们称作Carmichael数。你一定会以为这样的数一定很大。错。第一个Carmichael数小得惊人，仅仅是一个三位数，561。前10亿个自然数中Carmichael数也有600个之多。Carmichael数的存在说明，我们还需要继续加强素性判断的算法。
由此观之，费马素性检验仍不能满足我们的要求，我们需要改进素性检验算法
引理：
对于(forall a<p)，(p)是质数
若(a^2equiv1pmod p)
那么有(a=1)或(a=p-1)
证明：
Miller_Rabin素数测试的方法是，对于待检验数(x)，不断地提取(x-1)中的因子(2)，把(x-1)表示成(2^r*d)的形式，那么我们需要计算的东西变成了(a^{2^r*d}mod x)
于是，如果(x)是质数，(a^{2^r*d}mod x)要么等于(1)，要么等于(x-1)
如果(a^{2^{r-1}*d}mod x =1)，定理同样适用于(a^{2^{r-2}*d}mod x)
不断地开方，直到存在一个(iin[0,r))，使得(a^{2^i*d}mod x=x-1)
至此，费马素性检验被强化为如下形式：
尽可能提取因子(2)，将待检验数(x)表示为(2^r*d)的形式，其中(d)是一个奇数
如果(a^dmod n=1)，或者找到一个(iin[0,r))，使得(a^{2^i*d}mod x=x-1)，那么(x)极有可能是一个质数，否则(x)就不是一个质数
上文提到极有可能，是因为Miller_Rabin同样是不确定算法，我们称能够通过以(a)为底的Miller_Rabin检验的合数称为以(a)为底的“强伪素数”，第一个以(2)为底的强伪素数为(2047)，而第一个以(2)和(3)为底的强伪素数则为1373653
如果选用(2,3,7,61)和(24251)作为(a)，那么(10^{16})内唯一的强伪素数为(46space856space248space255space981)，正确率可以接受
Miller_Rabin核心代码
这里，我采用先将n-1的所有因子2提取出来，再不断地平方回到原来的n-1的枚举方法
typedef long long ll;
const ll a[10]={0,2,3,7,61,24251};
ll fastpow(ll a,ll b,ll p)
{
ll re=1,base=a;
while(b)
{
if(b&1)
re=re*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return re;
}
bool Miller_Rabin(ll x,ll a)
{
if(x==a)
return true;
if(x%a==0 || x<2)
return false;
ll d=x-1,r=0;
while(!(d&1))
{
d>>=1;
++r;
}
ll k=fastpow(a,d,x);
if(k==1 || k==x-1)
return true;
for(ll i=1;i<r;++i)
{
k=k*k%x;
if(k==x-1)
return true;
}
return false;
}
bool test(ll x)
{
for(int i=1;i<=5;++i)
if(!Miller_Rabin(x,a[i]))
return false;
return true;
}
题外话
由于水平及时间有限，博客中可能存在较多疏漏，希望读者能够指出，非常感谢
撰写过程中，很多内容参考了matrix67的博客，在此表示感谢