Bellman_Ford+SPFA算法自用笔记

一：Bellman_Ford

1：Dijkstra并不能解决带有负权边的图。

而Bellman_Ford算法可以。

2：核心代码：

    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            dis[v[j]]=min(dis[v[j]],backup[u[j]]+w[j]);    
        }    
    }

3：依然是熟悉的松弛操作，但这里是从部分扩大到全局。每次只松弛一部分。

第1轮，得到从1号顶点"只能经过一条边"到达其余各顶点的最短路径长度。

第2轮，得到从1号顶点"只能经过两条边"到达其余各顶点的最短路径长度。

.......

第k轮，就是"经过k条边"

在一个含有n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多包含n-1条边

所以最外层只需要循环n-1就可以了。

注意：这里的前提是，此时无正负权回路，因为最短路径一定是一个不包含回路的简单路径。

4：板子：

有边数限制的最短路：https://www.cnblogs.com/liyexin/p/14025379.html

判负环：https://www.cnblogs.com/liyexin/p/14026646.html

二：SPFA

1：对Bellman_Ford的优化版本。最坏情况下复杂度和Bellman-Ford 相同，为 O(VE)。

Bellman_Ford中很多松弛操作都是没有必要。

SPFA每次选取队首顶点u，对顶点u的所有出边进行松弛操作。其实思想就是，一个点被更新，那么它的邻居结点就有被更新的机会，所以可以把它们加入队列，没更新的点，自然没有机会进队列。

记得引入判重操作，防止一个点在队列中同时出现多次。

2：板子：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int e[maxn],ne[maxn],h[maxn],idx,w[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn];
int n,m;
void init()
{
    memset(h,-1,sizeof(h));
    memset(dis,inf,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
}
void add(int a,int b,int c)
{
    w[idx]=c;
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}
int spfa()
{
    queue<int>q;
    q.push(1);
    vis[1]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();
        vis[t]=0;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(dis[j]>dis[t]+w[i])
            {
                dis[j]=dis[t]+w[i];
                if(vis[j]==0)
                {
                    q.push(j);
                }
            }
        }
    }
    if(dis[n]>inf/2)
        return -1;
        return dis[n];
}
int main()
{    
    init();
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        cin>>a>>b>>c;
        add(a,b,c);
    }
    int t=spfa();
    if(t==-1)
        cout<<"impossible"<<endl;
    else
        cout<<t<<endl;
}