欧拉函数系列(板子)

一：

定义：

对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）

比如对于φ(6)来讲，1,2,3,4,5,6，为1，5。所以φ(6)=2。

二：

公式：

首先是分解质因子。

随后是：

三：

部分性质：

1：当n为奇质数时，φ(2n)=φ(n)

2：当n为质数时，φ(n)=n-1;

四：

求欧拉函数

1：直接根据公式求欧拉函数

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+50;
const int mod=1e9+7;
const int inf=1e9;
//int gcd(int a,int b)
//{
//    return b?gac(b,a%b):a;
//}
int main()
{
//    map<int,int>mp;
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        ll x;
        cin>>x;
        ll sum=x;
        for(int i=2;i<=x/i;i++)
        {
            if(x%i==0)
            {        
                sum=sum/i*(i-1);    
                while(x%i==0)
                {
                //    mp[i]++;
                    x=x/i;
                }
            }
        }
        if(x>1)
            sum=sum/x*(x-1);        
        cout<<sum<<endl;
    }
}

2：筛法求欧拉函数

phi表示φ(欧拉函数值)

(1)(i%pr[j]==0

由之前的埃氏筛法，if(i%pr[j]==0)。那么pr[j]为i的最小质因子。

所以φ(i*pr[j])=pr[j]*φ(i)

所以有：

            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
                break; 
            } 

(2)(i%pr[j]!=0

首先对于i，假设其质因子为p1~pk，则其欧拉函数φ(i)==i*(1-1/p1)*....(1-1/pk)

i*pr[j]的质因子，包括p1~pk，再加个pr[j]。那么其欧拉函数：

φ(pr[j]*i)

==pr[j]*i*(1-1/p1)*....(1-1/pk)*(1-1/pr[j])

==φ(i)*pr[j]*(1-1/pr[j])

==φ(i)*(pr[j]-1)

那么有：

phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);

可以看到，此式与(1)的区别仅为prime[j]是否-1而已。

板子：

int prime[maxn];
int tot=0;
int phi[maxn];//欧拉
bool st[maxn];
ll get_phi(int n)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;//1~i-1均与i互质 
        }
        for(int j=0;prime[j]<=n/i&&j<tot;j++)
        {
            st[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[prime[j]*i]=phi[i]*prime[j];
                break; 
            } 
            phi[prime[j]*i]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    } 
} 

五：

1：欧拉定理，也称费马-欧拉定理，是一个关于同余的性质。

如果n,a为正整数，而且互质，那么有：

当n是质数时，有：a^(n-1)1(modn)->费马定理