最大公因數

寫一個程式，輸入兩個正整數 A、B，印出它們的最大公因數。例如：

輸入1：96 40

輸出1：8

輸入2：120 160

輸出2：40

首先我們先用最簡單的方法，也就是從 A、B 兩數比較小的那個數開始，每次遞減一，直到一為止，一一測試是否可以同時將 A、B 整除，如果可以，則找到最大公因數，並不用再往下測試了。程式如下：

int a, b, c, i;

cin >> a >> b;

if(a>b) c=b;

else c=a;

for (i=c; i>=1; i--) {

  if ( (a%i==0) && (b%i==0) ) break;

}

cout << i << endl;

以上的方法，雖然不是最有效率的，卻是最簡單的。像這種一個一個試，不太使用大腦的方法，我們稱之為「暴力法」。

接下來我們看到比較有效率一點的方法，也就是利用數學裡的輾轉相除法來求它們的最大公因數。輾轉相除法的原理是，如果 A 除以 B 的餘數為 C，則 A、B 的最大公因數和 B、C 的最大公因數是相同的，而如果 B 除以 C 的餘數為 D，則 B、C 的最大公因數等於 C、D 的最大公因數。如此反覆下去，直到餘數為 0，則最後那一個不為 0 的餘數則為 A、B 的最大公因數。

首先，我們先輸入兩個數，然後如果 B 大於 A，則先將兩個數對調，程式如下：

int a, b, c;

cin >> a >> b;

if(a<b) {

  c=b;

  b=a;

  a=c;

}

上面的程式中，我們利用變數 c 來當暫存變數，讓 a、b 兩個變數的值可以對調。接下來，我們反覆執行下面的動作：

while( b!=0 ) {

  c=a%b;

  a=b;

  b=c;

}

上面的程式，我們先取 a 除以 b 的餘數並把它存到 c，因為 a、b 的最大公因數和 b、c 的最大公因數一樣，所以把 b 的值給 a，再把 c 的值給 b，如此反覆下去，直到 b 變成 0 為止，則這時的 a 就是我們要求的最大公因數。這時 b!=0 的條件不再成立，於是跳出這個迴圈。最後，我們再把結果印出來：

cout << a << endl;

下面我們以 96、40 為例，把執行過程中每一次迴圈的變化列出來：

次數	a	b	c
0	96	40	?
1	40	16	16
2	16	8	8
3	8	0	0

由上表可以得知，第三次迴圈執行完， b 即為 0，於是結束該迴圈，這時最大公因數即為 8。