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1 问题描述
何为旅行商问题？按照非专业的说法，这个问题要求找出一条n个给定的城市间的最短路径，使我们在回到触发的城市之前，对每个城市都只访问一次。这样该问题就可以表述为求一个图的最短哈密顿回路的问题。（哈密顿回路：定义为一个对图的每个顶点都只穿越一次的回路）
很容易看出来，哈密顿回路也可以定义为n+1个相邻顶点v1,v2,v3,...,vn,v1的一个序列。其中，序列的第一个顶点和最后一个顶点是相同的，而其它n-1个顶点都是互不相同的。并且，在不失一般性的前提下，可以假设，所有的回路都开始和结束于相同的特定顶点。因此，可以通过生成n-1个中间城市的组合来得到所有的旅行线路，计算这些线路的长度，然后求取最短的线路。下图是该问题的一个小规模实例，并用该方法得到了它的解，具体如下：
图1 使用蛮力法求解旅行商问题
2 解决方案
2.1 蛮力法
此处使用蛮力法解决旅行商问题，取的是4个城市规模，并已经定义好各个城市之间的距离（PS：该距离使用二维数组初始化定义，此处的距离是根据图1中所示距离定义）。此处主要是在体验使用蛮力法解决该问题的思想，如要丰富成普遍规模问题，还请大家自己稍微修改一下哒。对于代码中如碰到不能理解的地方，可以参考文章末尾给出的参考资料链接，以及相关代码注解~
具体代码如下：
package com.liuzhen.chapterThree; public class TravelingSalesman { public int count = 0; //定义全局变量，用于计算当前已行走方案次数，初始化为0 public int MinDistance = 100; //定义完成一个行走方案的最短距离，初始化为100（PS：100此处表示比实际要大很多的距离） public int[][] distance = {{0,2,5,7},{2,0,8,3},{5,8,0,1},{7,3,1,0}}; //使用二维数组的那个音图的路径相关距离长度 /* * start为开始进行排序的位置 * step为当前正在行走的位置 * n为需要排序的总位置数 * Max为n!值 */ public void Arrange(int[] A,int start,int step,int n,int Max){ if(step == n){ // 当正在行走的位置等于城市总个数时 ++count; //每完成一次行走方案，count自增1 printArray(A); //输出行走路线方案及其总距离 } if(count == Max) System.out.println("已完成全部行走方案！！！,最短路径距离为:"+MinDistance); else{ for(int i = start;i < n;i++){ /*第i个数分别与它后面的数字交换就能得到新的排列,从而能够得到n!次不同排序方案 * （PS：此处代码中递归的执行顺序有点抽象，具体解释详见本人另一篇博客：） *算法笔记_017:递归执行顺序的探讨（Java）
*/ swapArray(A,start,i); Arrange(A,start+1,step+1,n,Max); swapArray(A,i,start); } } } //交换数组中两个位置上的数值 public void swapArray(int[] A,int p,int q){ int temp = A[p]; A[p] = A[q]; A[q] = temp; } //输出数组A的序列，并输出当前行走序列所花距离，并得到已完成的行走方案中最短距离 public void printArray(int[] A){ for(int i = 0;i < A.length;i++) //输出当前行走方案的序列 System.out.print(A[i]+" "); int tempDistance = distance[A[0]][A[3]]; //此处是因为，最终要返回出发地城市，所以总距离要加上最后到达的城市到出发点城市的距离 for(int i = 0;i < (A.length-1);i++) //输出当前行走方案所花距离 tempDistance += distance[A[i]][A[i+1]]; if(MinDistance > tempDistance) //返回当前已完成方案的最短行走距离 MinDistance = tempDistance; System.out.println(" 行走路程总和："+tempDistance); } public static void main(String[] args){ int[] A = {0,1,2,3}; TravelingSalesman test = new TravelingSalesman(); test.Arrange(A,0,0,4,24); //此处Max = 4!=24 } }
运行结果：
0 1 2 3 行走路程总和：18
0 1 3 2 行走路程总和：11
0 2 1 3 行走路程总和：23
0 2 3 1 行走路程总和：11
0 3 2 1 行走路程总和：18
0 3 1 2 行走路程总和：23
1 0 2 3 行走路程总和：11
1 0 3 2 行走路程总和：18
1 2 0 3 行走路程总和：23
1 2 3 0 行走路程总和：18
1 3 2 0 行走路程总和：11
1 3 0 2 行走路程总和：23
2 1 0 3 行走路程总和：18
2 1 3 0 行走路程总和：23
2 0 1 3 行走路程总和：11
2 0 3 1 行走路程总和：23
2 3 0 1 行走路程总和：18
2 3 1 0 行走路程总和：11
3 1 2 0 行走路程总和：23
3 1 0 2 行走路程总和：11
3 2 1 0 行走路程总和：18
3 2 0 1 行走路程总和：11
3 0 2 1 行走路程总和：23
3 0 1 2 行走路程总和：18
已完成全部行走方案！！！,最短路径距离为:11
2.2 减治法
旅行商问题的核心，就是求n个不同城市的全排列，通俗一点的话，就是求1~n的全排列。下面两种方法都是基于减治思想进行的，此处只实现求取1~n的全排列。对于每一种排列，在旅行商问题中还得求取其相应路径长度，最后，在进行比较从而得到最短路径，对于求取最短路径的思想在2.1蛮力法中已经体现，此处不在重复，感兴趣的同学可以自己再动手实现一下~
2.2.1 Johson-Trotter算法
此处算法思想借用《算法设计与分析基础》第三版上讲解，具体如下：
具体实现代码如下：
package com.liuzhen.chapter4; import java.util.Collection; import java.util.HashMap; import java.util.Iterator; public class Arrange { //使用JohnsonTrotter算法获取1~n的全排列 public HashMap<Integer , String> getJohnsonTrotter(int n){ HashMap<Integer , String> hashMap = new HashMap<Integer , String>(); int count = 0; //用于计算生成排列的总个数，初始化为0 int[] arrayN = new int[n]; int[] directionN = new int[n+1]; //directionN[i]用于标记1~n中数字i上的箭头方向，初始化值为0，表示箭头方向向左；值为1 表示箭头方向向右 for(int i = 0;i < n;i++) arrayN[i] = i+1; String result = getArrayString(arrayN); hashMap.put(count, result); //将原始排列添加到哈希表中 while(judgeMove(arrayN,directionN)){ //存在一个移动元素 int maxI = getMaxMove(arrayN,directionN); if(directionN[arrayN[maxI]] == 0) //箭头指向左方 swap(arrayN,maxI,--maxI); if(directionN[arrayN[maxI]] == 1) //箭头指向右方 swap(arrayN,maxI,++maxI); for(int i = 0;i < n;i++){ //调转所有大于arrayN[maxI]的数的箭头方向 if(arrayN[i] > arrayN[maxI]){ if(directionN[arrayN[i]] == 0) directionN[arrayN[i]] = 1; else directionN[arrayN[i]] = 0; } } count++; result = getArrayString(arrayN); hashMap.put(count, result); //将得到的新排列添加到哈希表中 } return hashMap; } //判断数组arrayN中是否存在可移动元素 public boolean judgeMove(int[] arrayN,int[] directionN){ boolean judge = false; for(int i = arrayN.length - 1;i >= 0;i--){ if(directionN[arrayN[i]] == 0 && i != 0){ //当arrayN[i]数字上的箭头方向指向左边时 if(arrayN[i] > arrayN[i-1]) return true; } if(directionN[arrayN[i]] == 1 && i != (arrayN.length-1)){ //当arrayN[i]数字上的箭头方向指向右边时 if(arrayN[i] > arrayN[i+1]) return true; } } return judge; } //获取数组arrayN中最大的可移动元素的数组下标 public int getMaxMove(int[] arrayN,int[] directionN){ int result = 0; int temp = 0; for(int i = 0;i < arrayN.length;i++){ if(directionN[arrayN[i]] == 0 && i != 0){ //当arrayN[i]数字上的箭头方向指向左边时 if(arrayN[i] > arrayN[i-1]){ int max = arrayN[i]; if(max > temp) temp = max; } } if(directionN[arrayN[i]] == 1 && i != (arrayN.length-1)){ //当arrayN[i]数字上的箭头方向指向右边时 if(arrayN[i] > arrayN[i+1]){ int max = arrayN[i]; if(max > temp) temp = max; } } } for(int i = 0;i < arrayN.length;i++){ if(arrayN[i] == temp) return i; } return result; } //交换数组中两个位置上的数值 public void swap(int[] array,int m,int n){ int temp = array[m]; array[m] = array[n]; array[n] = temp; } //把数组array中所有元素按照顺序以字符串结果返回 public String getArrayString(int[] array){ String result = ""; for(int i = 0;i < array.length;i++) result = result + array[i]; return result; } public static void main(String[] args){ Arrange test = new Arrange(); HashMap<Integer , String> hashMap = test.getJohnsonTrotter(3); Collection<String> c1 = hashMap.values(); Iterator<String> ite = c1.iterator(); while(ite.hasNext()) System.out.println(ite.next()); System.out.println(hashMap); } }
运行结果：
123
132
312
321
231
213
{0=123, 1=132, 2=312, 3=321, 4=231, 5=213}
2.2.2 基于字典序的算法
此处算法思想也借用《算法设计与分析基础》第三版上讲解，具体如下：
具体实现代码如下：
package com.liuzhen.chapter4; import java.util.Collection; import java.util.HashMap; import java.util.Iterator; public class Arrange1 { public HashMap<Integer,String> getLexicographicPermute(int n){ HashMap<Integer,String> hashMap = new HashMap<Integer,String>(); int count = 0; //用于计算生成排列的总个数，初始化为0 int[] arrayN = new int[n]; for(int i = 0;i < n;i++) arrayN[i] = i+1; String result = getArrayString(arrayN); hashMap.put(count, result); //将原始排列添加到哈希表中 while(riseTogetherArray(arrayN)){ //数组中存在两个连续的升序元素 int i = getMaxI(arrayN); //找出使得ai<ai+1的最大i: ai+1>ai+2>...>an int j = getMaxJ(arrayN); //找到使得ai<aj的最大索引j: j>=i,因为ai<ai+1 swap(arrayN,i,j); reverseArray(arrayN,i+1,arrayN.length-1); result = getArrayString(arrayN); count++; hashMap.put(count, result); //将新得到的排列添加到哈希表中 } System.out.println("排列总个数count = "+(count+1)); return hashMap; } //判断数组中是否 包含两个连续的升序元素 public boolean riseTogetherArray(int[] arrayN){ boolean result = false; for(int i = 1;i < arrayN.length;i++){ if(arrayN[i-1] < arrayN[i]) return true; } return result; } //返回i:满足ai<ai+1，ai+1>ai+2>...>an(PS:an为数组中最后一个元素) public int getMaxI(int[] arrayN){ int result = 0; for(int i = arrayN.length-1;i > 0;){ if(arrayN[i-1] > arrayN[i]) i--; else return i-1; } return result; } //返回j:ai<aj的最大索引，j>=i+1，因为ai<ai+1(此处i值为上面函数getMaxI得到值) public int getMaxJ(int[] arrayN){ int result = 0; int tempI = getMaxI(arrayN); for(int j = tempI+1;j < arrayN.length;){ if(arrayN[tempI] < arrayN[j]){ if(j == arrayN.length-1) return j; j++; } else return j-1; } return result; } //交换数组中两个位置上的数值 public void swap(int[] array,int m,int n){ int temp = array[m]; array[m] = array[n]; array[n] = temp; } //将数组中a[m]到a[n]一段元素反序排列 public void reverseArray(int[] arrayN,int m,int n){ while(m < n){ int temp = arrayN[m]; arrayN[m++] = arrayN[n]; arrayN[n--] = temp; } } //把数组array中所有元素按照顺序以字符串结果返回 public String getArrayString(int[] array){ String result = ""; for(int i = 0;i < array.length;i++) result = result + array[i]; return result; } public static void main(String[] args){ Arrange1 test = new Arrange1(); HashMap<Integer,String> hashMap = test.getLexicographicPermute(3); Collection<String> c1 = hashMap.values(); Iterator<String> ite = c1.iterator(); while(ite.hasNext()) System.out.println(ite.next()); System.out.println(hashMap); } }
运行结果：
排列总个数count = 6
123
132
213
231
312
321
{0=123, 1=132, 2=213, 3=231, 4=312, 5=321}
参考资料：