$Problem .$ 设 $a_1,a_2,cdots,a_n$ 为互不相同的正实数, 证明矩阵 $A=left(frac{1}{a_i+a_j} ight)_{n imes n}$ 为正定矩阵.
$Solution ext{ 1}.$ For any $X=(x_1,cdots,x_n)^mathrm{T}
eq 0$, we have
egin{eqnarray*}
X^mathrm{T}AX
&=& sum_{i,j=1}^n frac{x_ix_j}{a_i+a_j}
= sum_{i,j=1}^n int_0^{infty} x_ix_j mathrm{e}^{-(a_i+a_j)t} mathrm{d}t \
&=& int_0^{infty} left( sum_{j=1}^n x_j mathrm{e}^{-a_jt}
ight)^2 mathrm{d}t
> 0.
end{eqnarray*}
$Solution ext{ 2}.$ 设$f_j(t)=t^{a_j-frac{1}{2}},j=1,cdots,n,$ 由于$a_1,a_2,cdots,a_n$互不相同, 所以$f_1(t),f_2(t),cdots,f_n(t)$构成线性空间(
W= mathrm{span} {f_1(t),f_2(t),cdots,f_n(t)})的一组基, 定义内积：$langle f,g
angle := int_0^1 f(t)g(t)mathrm{d}t$
则
[
mathrm{ent}_{ij}(A)=frac{1}{a_i+a_j}
= int_0^1 f_i(t)f_j(t)mathrm{d}t
= langle f_i,f_j
angle
]
于是, 矩阵 $A$ 为基 $f_1(t),f_2(t),cdots,f_n(t)$ 的度量矩阵, 故 $A$ 正定.
$Solution ext{ 3}.$ 注意到 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式均为 Cauchy 行列式, 直接计算可知
[
left|
egin{array}{cccc}
frac{1}{a_1+a_1} & frac{1}{a_1+a_2} & cdots & frac{1}{a_1+a_k} \
frac{1}{a_2+a_1} & frac{1}{a_2+a_2} & cdots & frac{1}{a_2+a_k} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
frac{1}{a_k+a_1} & frac{1}{a_k+a_2} & cdots & frac{1}{a_k+a_k} \
end{array}
ight| = frac{prodlimits_{1leqslant j<ileqslant k} (a_i-a_j)^2}
{prodlimits_{1leqslant i,jleqslant k}(a_i+a_j)}
> 0,quad k=1,2,cdots,n.
]
故 $A$ 正定.
注：矩阵 $A$ 的对称性是显然的, 以上解法中均省略了对称性的验证.