Bzoj 3813 奇数国题解数论+线段树+状压

3813: 奇数国

Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB
Submit: 748 Solved: 425
[Submit][Status][Discuss]

Description

在一片美丽的大陆上有100000个国家，记为1到100000。这里经济发达，有数不尽的账房，并且每个国家有一个银行。某大公司的领袖在这100000个银行开户时都存了3大洋，他惜财如命，因此会不时地派小弟GFS清点一些银行的存款或者让GFS改变某个银行的存款。该村子在财产上的求和运算等同于我们的乘法运算，也就是说领袖开户时的存款总和为3100000。这里发行的软妹面额是最小的60个素数（p1=2,p2=3,…,p60=281），任何人的财产都只能由这60个基本面额表示，即设某个人的财产为fortune（正整数），则fortune=p1^k1*p2^k2*......p60^K60。

领袖习惯将一段编号连续的银行里的存款拿到一个账房去清点，为了避免GFS串通账房叛变，所以他不会每次都选择同一个账房。GFS跟随领袖多年已经摸清了门路,知道领袖选择账房的方式。如果领袖选择清点编号在[a,b]内的银行财产，他会先对[a,b]的财产求和（计为product），然后在编号属于[1,product]的账房中选择一个去清点存款，检验自己计算是否正确同时也检验账房与GFS是否有勾结。GFS发现如果某个账房的编号number与product相冲，领袖绝对不会选择这个账房。怎样才算与product不相冲呢？若存在整数x,y使得number*x+product*y=1，那么我们称number与product不相冲，即该账房有可能被领袖相中。当领袖又赚大钱了的时候，他会在某个银行改变存款，这样一来相同区间的银行在不同的时候算出来的product可能是不一样的，而且领袖不会在某个银行的存款总数超过1000000。

现在GFS预先知道了领袖的清点存款与变动存款的计划，想请你告诉他，每次清点存款时领袖有多少个账房可以供他选择，当然这个值可能非常大，GFS只想知道对19961993取模后的答案。

Input

第一行一个整数x表示领袖清点和变动存款的总次数。

接下来x行，每行3个整数ai,bi,ci。ai为0时表示该条记录是清点计划，领袖会清点bi到ci的银行存款，你需要对该条记录计算出GFS想要的答案。ai为1时表示该条记录是存款变动，你要把银行bi的存款改为ci，不需要对该记录进行计算。

Output

输出若干行，每行一个数，表示那些年的答案。

Sample Input

6
013
115
013
117
013
023

Sample Output

18
24
36
6
explanation
初始化每个国家存款都为3;
1到3的product为27，[1,27]与27不相冲的有18个数;
1的存款变为5;
1到3的product为45，[1,45]与45不相冲的有24个数;
1的存款变为7;
1到3的product为63，[1,63]与63不相冲的有36个数;
2到3的product为9，[1,9]与9不相冲的有6个数。

HINT

x≤100000，当ai=0时0≤ci−bi≤100000

Source

2015年国家集训队测试

　　这是一道好题啊……

　　题目里的每一句话都暗藏玄机……

　　题目关键点在于number与product的关系，number*x+product*y=1的条件就是他们互质，所以我们实际要求的是porduct的欧拉函数。当然了，线筛肯定滚粗，我们还得看题目。他说任何人的财产都可以用那60个素数表示，良心啊。这样我们就可以用唯一分解来求欧拉函数了。

　　但是，问题在于我们怎么去求他的因子呢？线段树求出来的是在模完之后的，不可能通过它去求。所以我们还得维护一下因子。

　　由于博主太过蒟蒻，所以傻乎乎的拿了一个bool数组去存，然后T到死……

　　没办法，只能怂一波。万万没想到，一个long long就可以解决了。不知道大家有没有对本题涉及到的质数的个数60感到好奇呢？是的，long long极限是2^63-1，所以long long状压刚好可以，所以我们只要在线段树里用一个long long状压表示因子有谁就好了。

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdlib>
  3 #include <cstdio>
  4 #include <cstring>
  5 #include <algorithm>
  6 #include <cmath>
  7 #include <queue>
  8 #include <map>
  9 #include <vector>
 10 #define N 100005
 11 using namespace std;
 12 int n,p=19961993;
 13 long long ksm(long long x,long long z)
 14 {
 15     long long ans=1;
 16     while(z)
 17     {
 18         if(z&1)
 19         {
 20             ans*=x;
 21             ans%=p;
 22         }
 23         x*=x;x%=p;
 24         z>>=1;
 25     }
 26     return ans;
 27 }
 28 int zz,ss[100];
 29 struct no{
 30     int left,right,mid;
 31     long long data,pp;
 32 }node[N*4];
 33 void build(int left,int right,int x)
 34 {
 35     node[x].left=left,node[x].right=right;
 36     node[x].pp|=(1<<1ll);
 37     if(left==right)
 38     {
 39         node[x].data=3;
 40         return;
 41     }
 42     int mid=(left+right)>>1;
 43     node[x].mid=mid;
 44     build(left,mid,x*2);
 45     build(mid+1,right,2*x+1);
 46     node[x].data=node[2*x].data*node[2*x+1].data;
 47     node[x].data%=p;
 48 }
 49 void change(int to,int x,long long z)
 50 {
 51     if(node[x].left==node[x].right)
 52     {
 53         node[x].data=z;
 54         node[x].pp=0;
 55         for(int i=1;i<=zz;i++)
 56         {
 57             if(z%ss[i]==0) node[x].pp|=(1ll<<(i-1ll));
 58         }
 59         return;
 60     }
 61     int mid=node[x].mid;
 62     if(to>mid)change(to,2*x+1,z);
 63     else change(to,2*x,z);
 64     node[x].data=node[2*x].data*node[2*x+1].data;
 65     node[x].data%=p;
 66     node[x].pp=node[2*x].pp|node[2*x+1].pp;
 67 }
 68 long long pp;
 69 long long get(int left,int right,int x)
 70 {
 71     if(node[x].left==left&&node[x].right==right)
 72     {
 73         pp|=node[x].pp;
 74         return node[x].data;
 75     }
 76     int mid=node[x].mid;
 77     if(left>mid)return get(left,right,2*x+1);
 78     else if(right<=mid)return get(left,right,2*x);
 79     else return get(left,mid,2*x)*get(mid+1,right,2*x+1)%p;
 80 }
 81 long long ni[100];
 82 void init()
 83 {
 84     for(int i=2;zz<60;i++)
 85     {
 86         zz++;
 87         ss[zz]=i;
 88         for(int j=2;j<=sqrt(i);j++)
 89         {
 90             if(i%j==0)
 91             {
 92                 ss[zz]=0;
 93                 zz--;
 94                 break;
 95             }
 96         }
 97     }
 98     for(int i=1;i<=60;i++)ni[i]=ksm(ss[i],p-2);
 99 }
100 int main()
101 {
102     init();
103     scanf("%d",&n);
104     build(1,100000,1);
105     for(int i=1;i<=n;i++)
106     {
107         int op;
108         scanf("%d",&op);
109         if(op)
110         {
111             long long x,y;
112             scanf("%lld%lld",&x,&y);
113             change(x,1,y);
114         }
115         else
116         {
117             long long x,y;
118             pp=0;
119             scanf("%d%d",&x,&y);
120             long long pro=get(x,y,1);
121             long long ans=pro;
122             for(int i=1;i<=zz;i++)
123             {
124                 if(pp&(1ll<<(i-1ll)))
125                 {
126                     ans*=ni[i];
127                     ans%=p;
128                     ans*=(ss[i]-1);
129                     ans%=p;
130                 }
131             }
132             printf("%lld
",ans);
133         }
134     }
135     return 0;
136 }

View Code

Bzoj 3813 奇数国 题解 数论+线段树+状压