[Haoi2016]放棋子 题解

4563: [Haoi2016]放棋子

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Description

给你一个N*N的矩阵，每行有一个障碍，数据保证任意两个障碍不在同一行，任意两个障碍不在同一列，要求你在

这个矩阵上放N枚棋子（障碍的位置不能放棋子），要求你放N个棋子也满足每行只有一枚棋子，每列只有一枚棋子

的限制，求有多少种方案。

 

Input

第一行一个N，接下来一个N*N的矩阵。N<=200,0表示没有障碍，1表示有障碍，输入格式参考样例

 

Output

一个整数，即合法的方案数。

Sample Input

2
0 1
1 0

Sample Output

1

　　这道题竟然考的是高精度，吓到我了……

　　一开始没读到数据范围还以为是状压裸题，然后一看到N<=200，吓一跳，然后开始琢磨动归方程，于是乎，一开始就错了的我走上了一条不归路。

　　最后实在没辙，看了一眼题解，好吧，我输了。

　　这道题我们可以分析为错排问题：一共 1～n n个数，对于任意数x都不在第x个位置上有多少方案数。

　　为什么这么说呢？我们可以注意到，既然每一行每一列有且只有一个障碍，那么，每一行障碍的位置对于答案没有任何实际影响，如果我们按照每一行障碍的位置对行进行排序的话就转化成了第i行的棋子不能出现在第i个位置的问题，也就是我们上面说的错排问题了。

　　那么错排问题的公式是什么呢？

　　　　f[i]=f[i-1]*(i-1)+f[i-2]*(i-1)

　　　　原理：

　　　　　　第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

　　　　　　第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有f(n-2)种方法；⑵第k　　　　个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有f(n-1)种方法。（摘自百度百科）

　　还是挺好玩的。

　　然后，就是传统的高精度了呗。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <map>
#define N 10000
using namespace std;
int n,p=10000;
struct no
{
    int a[N],l;
}f[205],c;
no get(int x)
{
    no aa;
    aa.l=1;
    aa.a[1]=x;
    return aa;
}
no jia(no a,no b)
{
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));c.l=0;
    for(int i=1;i<=max(a.l,b.l)+2;i++)
    {
        c.a[i]+=a.a[i]+b.a[i];
        c.a[i+1]+=c.a[i]/p;
        c.a[i]%=p;
    }
    for(int i=max(a.l,b.l)+2;;i--)
    {
        if(c.a[i])
        {
            c.l=i;
            break;
        }
    }
    return c;
}
no cheng(no a,no b)
{
    memset(c.a,0,sizeof(c.a));c.l=0;
    for(int i=1;i<=a.l;i++)
    {
        for(int j=1,to=i;j<=b.l;j++,to++)
        {
            c.a[to]+=a.a[i]*b.a[j];
            c.a[to+1]+=c.a[to]/p;
            c.a[to]%=p;
        }
    }
    for(int i=a.l+b.l+2;;i--)
    {
        if(c.a[i])
        {
            c.l=i;
            break;
        }
    }
    return c;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            int x;
            scanf("%d",&x);
        }
    }
    f[1].a[1]=0,f[1].l=1;
    f[2].a[1]=1,f[2].l=1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        f[i]=cheng(get(i-1),jia(f[i-1],f[i-2]));
    }
    printf("%d",f[n].a[f[n].l]);
    for(int i=f[n].l-1;i>=1;i--)
    {
        printf("%04d",f[n].a[i]);
    }
    return 0;
}