UPC4248【数论】数字迷阵

问题 J: 【数论】数字迷阵

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题目描述

小可可参观科学博物馆时，看到一件藏品，上面有密密麻麻的数字，如下所示：   
1   2   3   5    8    13   21   34   55    89    144 ...   
4   7   11  18   29   47   76   123  199   322   521 ...   
6   10  16  26   42   63   110  178  288   466   754 ...   
9   15  24  39   63   102  165  267  432   699   1131 ...   
12  20  32  52   84   136  220  356  576   932   1508 ...   
14  23  37  60   97   157  254  411  665   1076  1741 ...   
17  28  45  73   118  191  309  500  809   1309  2118 ...   
19  31  50  81   131  212  343  555  898   1453  2351 ...   
22  36  58  94   152  246  398  644  1042  1686  2728 ...   
25  41  66  107  173  280  453  733  1186  1919  3105 ...   
27  44  71  115  186  301  487  788  1275  2063  3338 ...   
...   
仔细一分析，发现还挺有规律。   
原来，第一行是Fibonacci数列。即，该行中除了第一个和第二个数分别为1和2之外，其他数都是其左侧相邻的两个数之和。   
其后各行也类似于Fibonacci数列。只是第i行的第一个数是前 行中未出现的最小正整数，而其第二个数与该行第一个数以及所在行的编号相关，即A[i,2]=A[i,1]*2-(i-1) 。如在第一行中未出现的最小正整数为4，前三行中未出现的最小正整数为9。故第二行以4和7开头，而第四行以9和15开头。   
小可可高兴地把这个发现告诉了爷爷。爷爷问道：你能否一口报出第i行、第j列的那个数对m取模的结果是多少呢？   
聪明的小可可通过心算就能知道答案。你是否能编写程序求解呢？

输入

每行有三个分别用一个空格隔开的正整数，分别是i、j和m。其中，i, j<=1000000000 ，2<=m<=10000 。   

输出

每行输出对应的第i行、第j列的那个正整数对m取模的结果。

样例输入

复制样例数据

1 2 99

样例输出

2

发现一道很有意思的题目，根据题意，我们的任务重点放在了如何求解每一行的第一个数，而第二项的递推式子已经给出，后面的第j项，可以用矩阵快速幂直接求解。
打了个表观察第一列的数字，会发现每十三个数分别增加3，2，3，3，2，3，2，3，3，2，3，3，2，所以我们将这十三个数存下来就ok了。一道无从下手的题秒变水题。
AC代码

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll mod;
struct mat
{
    ll a[2][2];
    mat operator *(const mat &t)const
    {
        mat res;
        for(int i=0;i<2;i++)
        {
            for(int j=0;j<2;j++)
            {
                res.a[i][j]=0;
                for(int k=0;k<2;k++)
                    res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*t.a[k][j]%mod)%mod;
            }
        }
        return res;
    }
};
mat qpow(mat a,ll b)
{
    mat ans;
    ans.a[0][0]=ans.a[1][1]=1;
    ans.a[0][1]=ans.a[1][0]=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int nb[14]={0,3,2,3,3,2,3,2,3,3,2,3,3,2};
ll a,b;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    ll i,j;
    cin>>i>>j>>mod;
    for(int i=1;i<=13;i++)nb[i]+=nb[i-1];
    a=1+nb[13]*((i-1)/13)+nb[(i-1)%13];
    b=a*2-i+1;
    mat A,B;
    A.a[0][0]=1;
    A.a[0][1]=1;
    A.a[1][0]=1;
    B.a[0][0]=b;
    B.a[1][0]=a;
    A=qpow(A,j-2)*B;
    printf("%lld
",A.a[0][0]);
    return 0;
}