分位数

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本文内容

• 分位数
• 中位数
• 四分位数
• 百分位数
• 参考资料
• 演示

分位数

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分位数（Quantile），也称分位点，是指将一个随机变量的概率分布范围分为几个等份的数值点，分析其数据变量的趋势。常用的有中位数、四分位数、百分位数等。

中位数

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中位数（Medians）是一个统计学的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，可以将数值集合划分为相等的两部分，即，若设连续随机变量 X 的分布函数为 F(X)，那么满足条件 F(X)=1/2 ，称为 X 或分布 F 的中位数。中位数是用来衡量集中趋势的方法。对于一个有限的、有序的数集，位于中间位置的那个数值就是中位数，用 Me 表示。

中位数可以扩展到四分位数，即中位数再取中位数，变成四分位数。

四分位数

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若设连续随机变量 X 的分布函数为 F(X)，那么满足条件 F(X)=1/4 ，称为 X 或分布 F  的四分位数。四分位数通常用箱形图（Box Plots）表示。箱形图能显示出一组数据的最大值（Maximum）、最小值（Minimum）、中位数（Q₂）、下四分位数（Q₁）及上四分位数（Q₃）。

四分位描述为，将 n 个数从小到大排列 x_n=(x₁,x₂,x₃,…,x_n)，那么 Q_1，Q_2，Q₃ 的位置 L：

当计算的位置为小数时，即 n 为奇数，其四分位数将在后面示例中介绍。

箱形图

箱形图是于 1977年由美国著名统计学家约翰·图基（John Tukey）发明，如下所示：

图 1 箱形图

这组数据显示出：

• 最小值（Minimum）为 5
• 下四分位数（Q₁）为 7
• 中位数（Q₂，Median）为 8.5
• 上四分位数（Q₃）为 9
• 最大值（Maximum）为 10
• 平均值为 8
• 四分位间距（Inter-quartile range，IQR）为 Q₃-Q₁=2，即 ΔQ，在区间 Q₁-1.5ΔQ，Q₃+1.5ΔQ 之外的值被视为应忽略（farout）。
  • farout：在图上不予显示，仅标注一个符号。
  • 最大值区间： Q₃+1.5ΔQ
  • 最小值区间： Q₁-1.5ΔQ
• 最大值与最小值产生于这个区间。区间外的值被视为 outlier 显示在图上。
  • mild outlier 为 3.5
  • extreme outlier 为 0.5

图 2 正态分布 N(0,1σ²) 的箱形图和概率密度函数

不论 Q₁，Q₂，Q₃ 的变异量数数值为何，均视为一个分界点，以此将总数分成四个相等部分，可以通过 Q₁ 和 Q₃ 比较，分析其数据变量的趋势。

示例 1

某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4, 15.7) 公斤，则三个四分位数的位置分别为：

即数组第3、第6、第9个工人的某种产品产量分别为下四分位数、中位数和上四分位数为：

Q₁ = 13.8 公斤、Q₂ = 14.6 公斤、Q₃ = 15.2 公斤

示例 2

某车间某月份的工人生产某产品的数量分别为 x=(13, 13.5, 13.8, 13.9, 14, 14.6, 14.8, 15, 15.2, 15.4) 公斤，则三个四分位数的位置分别为：

即数组中的第 2.75 项、第 5.5 项、第 8.25 项分别为下四分位数、中位数和上四分位数。即：

Q1=0.25×第2项+0.75×第3项=0.25×13.5+0.75×13.8=13.73 (公斤)

Q2=0.5×第5项+0.5×第6项=0.5×14+0.5×14.6=14.3 (公斤)

Q3=0.75×第8项+0.25×第9项=0.75×15+0.25×15.2=15.05 (公斤)

若（n+1）为 4 的倍数，则确定四分数很简单；否则，若不是 4 的倍数，即小数，则四分位数是该小数的最大整数和最小整数位置上的值的平均数。

另外，权重的大小取决于两个整数位置距离的远近，距离越近，权数越大，距离越远，权数越小，权数之和等于 1。

示例 3

若有有序数组 x=(17, 19, 22, 24, 25, 28, 34)，则四分位数：

Q₁ 的位置= （n + 1) / 4 = （7 + 1) / 4 = 2

Q₃ 的位置= 3*（n + 1) / 4 = 3*（7 + 1) / 4 = 6

则 Q₁ 与 Q₃ 分别为 19 和 28；IQR 四分位差为 Q₃ − Q₁=28-19=9

说明 50% 的数据集中在 19～28 之间，最大差异为 9。

百分位数

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百分位数又称百分位分数（percentile），是一种相对地位量数，它是次数分布（Frequency Distribution，频数分布）中的一个点。把一个次数分布排序后，分为 100 个单位，百分位数就是次数分布中相对于某个特定百分点的原始分数，它表明在次数分布中特定个案百分比低于该分数。百分位数用P加下标 m（特定百分点）表示。譬如，若P₃₀等于60，则其表明在该次数分布中有 30％ 的个案低于 60 分。

百分位数运用在教育统计学中，如表现测验成绩时，又称 PR 值（Percentile ranks），用于描述一组数据某一百分位置的水平，多个百分位数结合应用，可全面描述一组观察值的分布特征；百分位数还可用于确定非正态分布资料的医学参考值范围。但应用百分位数时，样本含量要足够大，否则不宜取太靠近两端的百分位数。

计算公式为：

其中，

• P_m：第 m 百分位数；
• L：P_m所在组的组实下限；
• U：P_m所在组的组实上限；
• f：P_m所在组的次数；
• F_b：小于 L 的累积次数；
• F_a：大于 U 的累积次数。

示例 1

某省某年公务员考试考生分数分布如下表所示，预定取考分居前 15％ 的考生进行面试，请划定面试分数线。

分数分组	次数	向上累积次数	向下累积次数	向上累积相对次数
95～99	7	1640	7	100％
90～94	16	1633	23	99.57％
85～89	53	1617	76	98.60％
80～84	78	1564	154	95.37％
75～79	90	1486	244	90.61％
70～74	119	l396	363	85.12％
65～69	159	1277	522	77.87％
60～64	156	1118	678	68.17％
55～59	140	962	818	58.66％
50～54	145	822	963	50.12％
45～49	140	677	1103	41.28％
40～44	135	537	1238	32.74％
35～39	130	402	1368	24.51％
30～34	126	272	1494	16.59％
25～29	78	146	1572	8.90％
20～24	25	68	1597	4.15％
15～19	20	43	1617	2.62％
10～14	16	23	1633	1.40％
5～9	7	7	1640	0.43％

由于预定取考分居前 15％ 的考生进行面试，即有85％的考生分数低于划定的分数线，由此可知，分数线在 70～74 这一组中。

参考资料

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• D3 box plot 演示
• 中位数
• Wiki 四分位数
• MBALib 四分位
• Wiki 百分位数
• baidu 四分位数
• Wiki 箱形图
• Wiki 百分位数
• Wiki 统计学
• MBALib 次数分布

演示

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