平均数、中位数和众数及它们之间的关系

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本文内容

• 平均数
• 中位数
• 众数
• 参考资料
• 演示

最近大 BOSS“迷上”了一个网络游戏（什么游戏就不多说啦～），让我写个程序帮他算一下（现在他让另一个同事写了，我要改 bug 没时间，所以，我主要是没事时“凑热闹”提点想法）。期间，发现这个游戏一定是基于某个数学模型，于是在网上找了一个 VaR 模型，虽然现在觉得正态分布更合适。 VaR 模型最初是 J.P Morgan 用来预测金融风险的数学模型，现在有很多改进型。我对里边使用的一些统计名词有些模糊，就找资料回忆了一下，毕竟我不是学统计学的，虽然知道点，但认识得不深、不系统。

本文主要说明平均数、中位数和众数，以及它们之间的关系，这三种的目的类似，都是为了反应一组数据的一般情况（代表性），只是适用的场景不同。我们对平均数很熟悉，但它并不是“万能的”，若数据中出现极大或极小值，则平均数受到的影响很大，而中位数则不会。这也就是为什么，早先一些娱乐节目，台下的评委评分后，主持人会去掉一个最小分数和一个最大分数，再取平均数的原因。或是，上学时，老师对成绩差的学生会特别“愤怒”，常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。

平均数

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平均数（Mean），或均值是统计中的一个重要概念。是集中趋势的最常用测度值，目的是确定一组数据的均衡点。这里的平均数是指算术平均数，即一组数据的和除以这组数据的个数所得的平均值，也叫算术平均值。

计算

平均数的计算公式为：

在统计中，算术平均数常用于表示统计对象的一般水平，描述数据集中程度的一个量。我们既可以用它来反映一组数据的一般情况，也可以用它进行不同组数据的比较，以便看出组与组之间的差别。用平均数可以直观、简明地表示一组数据的情况，所以日常生活中经常用到，如中小学学生的平均身高，由于生活条件的改善，现在孩子的身高肯定比80年代要高；平均成绩，这个一定不陌生，上学时，老师对成绩差的学生会特别“愤怒”，常说“你拉下了全班的成绩”、“拖了大家的后退~”。

统计学上，算术平均数较中位数、众数更少地受到随机因素影响，但缺点是它更容易受到极端值影响。

除了算术平均数，还有几何平均数、调和平均数、平方平均数、移动平均数等。

算术平均数用于数值型数据，不能用于分类数据和顺序数据。

示例

若有包含 7 个数值的数组 ，则算术平均数为 24.7。

若有包含 8 个数值的数组 ，则算术平均数为 25.7。

平均数很简单，但引出它主要是为了跟后面的中位数和众数进行比较。

中位数

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中位数（Medians）是一个统计学的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，可以将数值集合划分为相等的两部分，即，若设连续随机变量 X 的分布函数为 F(X)，那么满足条件 F(X)=1/2 ，称为 X 或分布 F 的中位数。中位数是用来衡量集中趋势的方法。对于一个有限的、有序的数集，位于中间位置的那个数值就是中位数，用 Me 表示。

“中位数”中的“位”，即“位置”，看后“意义”小节，你会理解这段话的意思。

计算

若集合的项数为奇数，则处于中间位置的数据为中位数；若项数为偶数，则中位数为处于中间位置的两个数值的算术平均数。

实数 ，按大小顺序（降序、升序都可）排列为 。则实数数列 的中位数为 ：

示例

若有包含7个数值的数组 ，按升序为 ，则中位数为 23。

若有包含8个数值的数组 ，按升序为 ，则中位数为 (23+25)/2=24。

意义——算术平均数与中位数

中位数趋于数据集合的中间，是所有数据的代表值，它不受分布数列的极大或极小值影响，对极大极小值不敏感，一定程度上提高了中位数对分布数列的代表性。有些离散型变量的单项式数列，当次数分布偏态时，中位数的代表性会受到影响。

中位数的作用与算术平均数相近，也是作为数据的代表值。在一个等差数列或一个正态分布数列中，中位数就等于算术平均数。

在数列中出现了极端值的情况下，用中位数作为代表值比算术平均数更好。如果研究的目的是为了反映中间水平，应该用中位数。在统计数据的处理和分析时，可结合使用中位数。

例如，有序组数 x=(200, 250, 300, 1000，2000)，其平均数为 750，中位数为 300，因为一半比 300 多，另一个半比 300 少；若有序数组为 x=(200，250，300，500，1000)，其平均数变为 450，但中位数还是 300。

因此，平均数的变化较大。而中位数相对于平均数不太受极大极小值的影响。

众数

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众数（Statistical Mode）是数据中出现频率最多的数。用众数代表一组数据，适合于数据量较多时使用，且众数不受极端数据的影响，并且求法简便。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，选择中位数表示这组数据的“集中趋势”就比较适合。

当数值或被观察者没有明显次序（常发生于非数值性资料）时特别有用，由于可能无法良好定义算术平均数和中位数。例子：(苹果, 苹果, 香蕉, 橙, 橙, 橙, 桃) 的众数是“橙”。

一组数据可能没有众数或有多个众数。在高斯分布（正态分布）中，众数位于峰值。

众数主要用于分类数据，也可用于顺序数据和数值型数据。

示例

若有数组  (2, 2, 3, 3, 4)，则其众数为 (2, 3)；若数组为 (1, 2, 3, 4) ，则其没有众数。

算术平均数、中位数和众数之间的关系

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平均数、中位数和众数三者之间，一个有趣的经验关系是：

参考资料

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• Wiki 平均数
• Wiki 中位数
• wolfram MathWorld 中位数
• Wiki 众数

演示

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