1.函数$f(x)$在$left [ 0,1 ight ]$单调非增,证明:对于任何$alpha in(0,1)$:
$int_{0}^{alpha}f(x)dx geq alpha int_{0}^{1}f(x)dx$
证明:即证 $(1-alpha)int_{0}^{alpha} f(x)dx geq alpha int_{alpha}^{1} f(x)dx$
由$f(x)$单调不增,所以有$(1-alpha)int_{0}^{alpha} f(x)dx geq (1-alpha)(alpha) f(alpha)$
而$(alpha)int_{alpha}^{1} f(x)dx leq (1-alpha) (alpha)f(alpha)$
所以结论成立
2.设$a,b>0,f(x) geq 0$,且$f(x)$在[a,b]上可积,$int_{a}^{b} xf(x) dx=0$求证:
$int_{a}^{b}x^{2}f(x)dxleq ab int_{a}^{b}f(x)dx$
证明:构造一个$int_{a}^{b}(x+a)(b-x) f(x)dx geq 0 $