复数

复数的模与辐角

$z= x+iy$

模长：

$r=left | z ight |=sqrt{x^{2}+y^{2}}$

辐角：

$tan heta =frac{y}{x}$

记为：

$ heta =Arg z$

称适合条件$-pi < argzleq pi$为$Arg z$的主值，或称之为$z$的主辐角。

tips：$z=0$时，辐角无意义。

当$arg z$表示$z$的主辐角时，它与反正切$Arctanfrac{y}{x}$有如下关系：

注意$-pi < argzleq pi$，$-frac{pi}{2}< arctanfrac{y}{x}<frac{pi}{2}$

$$arg z=
left{egin{matrix}
& arctanfrac{y}{x},x>0\
& frac{pi}{2},x=0,y>0\
& arctanfrac{y}{x}+pi,x<0,ygeq 0\
& arctanfrac{y}{x}-pi,x<0,y<0\
& -frac{pi}{2},x=0,y<0
end{matrix} ight.$$

单位复数：$z=cos heta +isin heta $

欧拉公式：$e^{i heta}=cos heta +isin heta $

可以将任一复数表示成$z=re^{i heta}$

即$z=left | z ight |e^{iarg z}$

这里$arg z$不必取主值。

例：将复数$1-cos varphi+sin varphi (0<varphileq pi)$化为指数形式：

解：原式

$\=2sin^{2}frac{varphi}{2}+2isinfrac{varphi}{2}cosfrac{varphi}{2}\
=2sinfrac{varphi}{2}left [ sinfrac{varphi}{2}+icosfrac{varphi}{2} ight ]\
=2sinfrac{varphi}{2}left [ cos(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2})+isin(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2}) ight ]\=2sinfrac{varphi}{2}e^{(frac{pi}{2}-frac{varphi}{2})i}$

当$z=x+iy eq 0,arg z= heta $（主值），则

$tanfrac{ heta}{2}=frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{rsin heta}{r+rcos heta}=frac{y}{x+sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

所以$arg z= heta $（主值）$=2arctanfrac{y}{x+sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

利用指数形式，容易得到

$left | z_{1}z_{2} ight |=left|z_{1} ight|left|z_{2} ight|$

$left|frac{z_{1}}{z_{2}} ight|=frac{left|z_{1} ight|}{left|z_{1} ight|}$

$Arg(z_{1}z_{2})=Arg z_{1}+Arg z_{2}$，$Arg(frac{z_{1}}{z_{2}})=Arg z_{1}-Arg z_{2}$

$z_{1}z_{2}$所对应的向量是把$z_{1}$所对应的向量长度伸缩$r_{2}=left|z_{2} ight|$倍，然后再旋转一个角度$ heta_{2}=arg z_{2}$得到的,

特别，$iz$相当于将$z$所对应的向量沿反时针方向旋转$frac{pi}{2}$，这里$i$称为旋转乘数，另外 $arg(alpha z)=arg z, alpha>0$

例：对于复数$alpha, eta$,若$alphaeta =0$,则$alpha,eta$至少有一个为0

证：若$alphaeta=0$,则必有$left|alphaeta ight|=0$，因而$left|alpha ight|left|eta ight|=0$

       从而$left|alpha ight|,left|eta ight|$中至少一个为零。

复数的乘幂与方根：

考虑非零复数$z$的正整数次幂$z^{n}$

设$z=re^{i heta}$

则$z^{n}=r^{n}e^{in heta}=r^{n}(cos n heta+isin n heta)$

从而有$|z^{n}|=|z|^{n}$, $Arg z^{n}=nArg z$;

当$r=1$时，则得棣莫弗公式：$(cos heta +i sin heta)^{n}=cos n heta +isin n heta$.

求非零复数$z$的$n$次方根,相当于解二项方程：

$w^{n}=z$($ngeq 2$)

今记其根的整体为$sqrt[n]{z}$

有$w_{k}=(sqrt[n]{z})_{k}=sqrt[n]{r}e^{i frac{ heta+2k pi}{n}}=e^{i frac{2k pi}{n}}sqrt[n]{r}e^{i frac{ heta}{n}}$