实验六 最小代价生成树

一、实验名称：最小代价生成树

二、实验目的：

1.掌握贪心算法解决问题的思想和一般过程，
2.学会使用普里姆算法解决实际问题。

三、实验内容

完善下列程序，并回答问题。

#include<iostream.h>
#define G_NODE_NUM 6  //结点个数
#define INFTY 65535
template<class T>
struct ENode
{//带权图的边结点
    int adjVex;
    T w;
    ENode* nextArc;
};
template <class T>
class Graph
{
public:
    Graph (int mSize){
        n = mSize;
        a = new ENode<T> *[mSize];
        for(int i = 0; i< n ;i++){
            a[i] = NULL;
        }
    }
    void Prim(int s);
    void putin(T X[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]);
    void putout();
protected:
    void Prim(int k, int* nearest, T* lowcost);
    ENode<T>** a;
    int n; 
};

template<class T>
void Graph<T>::putin(T X[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]){
    ENode<T> *e;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(X[i][j]>0){
                e = new ENode<T>();
                e->adjVex = j;
                e->w = X[i][j];
                e->nextArc = a[i];
                a[i] = e;
            }
        }
    }
}
template<class T>
void Graph<T>::putout(){
    ENode<T> *e;
    cout<<"---图输出---"<<endl;
    for(int i=0; i<n; i++){
        e = a[i];
        cout<<endl<<"第"<<i<<"个节点：";
        while(e!=NULL){
            cout<<" "<<e->adjVex<<"("<<e->w<<")";
            e=e->nextArc;
        }
    }
    cout<<endl;
}

template<class T>
void Graph<T>::Prim(int s)
{ 
    学生书写部分
};

template<class T>
void Graph<T>::Prim(int k, int* nearest, T* lowcost)
{
    学生书写部分
}

void main(){
    Graph<int> *G;
    int data[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]={    {0,6,1,5,0,0},
                                            {6,0,5,0,3,0},
                                            {1,5,0,5,6,4},
                                            {5,0,5,0,0,2},
                                            {0,3,6,0,0,6},
                                            {0,0,4,2,6,0}};
    int n = G_NODE_NUM;
    G = new Graph<int>(n);
    G->putin(data);
    G->putout();
    G->Prim(0);
}

补充后的程序：

#include<iostream.h>
#define G_NODE_NUM 6  //结点个数
#define INFTY 65535
template<class T>
struct ENode
{//带权图的边结点
    int adjVex;
    T w;
    ENode* nextArc;
};
template <class T>
class Graph
{
public:
    Graph (int mSize){
        n = mSize;
        a = new ENode<T> *[mSize];
        for(int i = 0; i< n ;i++){
            a[i] = NULL;
        }
    }
    void Prim(int s);
    void putin(T X[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]);
    void putout();
protected:
    void Prim(int k, int* nearest, T* lowcost);
    ENode<T>** a;
    int n; 
};

template<class T>
void Graph<T>::putin(T X[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]){
    ENode<T> *e;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < n; j++){
            if(X[i][j]>0){
                e = new ENode<T>();
                e->adjVex = j;
                e->w = X[i][j];
                e->nextArc = a[i];
                a[i] = e;
            }
        }
    }
}
template<class T>
void Graph<T>::putout(){
    ENode<T> *e;
    cout<<"---图输出---"<<endl;
    for(int i=0; i<n; i++){
        e = a[i];
        cout<<endl<<"第"<<i<<"个节点：";
        while(e!=NULL){
            cout<<" "<<e->adjVex<<"("<<e->w<<")";
            e=e->nextArc;
        }
    }
    cout<<endl;
}

template<class T>
void Graph<T>::Prim(int s)
{ 
    //学生书写部分
    int *nearest=new int[n],*lowcost=new int[n];
    Prim(s,nearest,lowcost);
    for(int j=0;j<n;j++){
       cout<<"("<<nearest[j]<<","<<j<<","<<","<<lowcost[j]<<")"; 
    }
    cout<<endl;
    delete[]nearest;
    delete[]lowcost;
};

template<class T>
void Graph<T>::Prim(int k, int* nearest, T* lowcost)
{
    //学生书写部分
    bool*mark=new bool[n];   //创建mark数组 
    ENode<T>*p;
    if(k<0||k>n-1)    throw  OutofBounds;    
    
    for(int i=0;i<n;i++){   //初始化 
        nearest[i]=-1;
        mark[i]=false;   
        lowcost[i]=INFTY; //常量INFTY的值大于所有边的权值 
    }
    
    //源点k加入生成树 
    lowcost[k]=0;
    nearest[k]=k;
    mark[k]=true; 
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(p=a[k];p;p=p-nextArc){
            int j=p->adjVex;
            if((!mark[j])&&(lowcost    [j]>p->w)){
               lowcost[j]=p->w;
               nearest[j]=k;
            }
        }
    }
    
    T min=INFTY;   //求下一条最小权值的边 
    for(int j=0;j<n;j++){
        if((!mark[j])&&(lowcost    [j]<min)){
           min=lowcost[j];
           k=j;
        }
    }
    
    mark[k]=true;     //将节点k加到生成树上 
}

int main(){
    Graph<int> *G;
    int data[G_NODE_NUM][G_NODE_NUM]={    {0,6,1,5,0,0},
                                            {6,0,5,0,3,0},
                                            {1,5,0,5,6,4},
                                            {5,0,5,0,0,2},
                                            {0,3,6,0,0,6},
                                            {0,0,4,2,6,0}};
    int n = G_NODE_NUM;
    G = new Graph<int>(n);
    G->putin(data);
    G->putout();
    G->Prim(0);
}

程序问题

1. 分析算法，说明算法中涉及到的变量k、nearest、lawcast、mark，分别表示的语义是什么。
2. 画出Prim算法的流程图。
3. 运行课本第109页图6-10的普里姆算法，生成的子树是什么? （程序自带输入部分）
4. 在程序的适当位置，增加“cout<<"第"<<k<<"个节点加入生成树 ";”语句，输出加入节点的次序。
5. 试着推理，或者在程序中增加输出语句，说明从第1个节点开始，每一次循环三元组<nearest[i], i, lowcost[i]>的变化。
6. 若是8个节点的图，如下所示，设计相应的输入邻接矩阵，通过普里姆算法得出的最小生成子树是什么？

      7.(选作)若是使用克鲁斯卡尔算法，课本第109页图6-10生成的最小子图应该是什么？

      8.(选作)若是使用克鲁斯卡尔算法，（图1）生成的最小子图应该是什么？

四、实验总结