数学归纳法：如何用数学归纳提升代码的运行效率？
“归纳”，是一种从经验事实中找出普遍特征的认知方法。
- 通过上面的表格，我们可以进行归纳，并得出这样的结论：
- 如果一个动物，身上长羽毛并且会飞，那么就是属于鸟；
- 如果一个动物，身上长绒毛、不会飞、而且吃小鱼和老鼠，那么就属于猫。
什么是数学归纳法？
根据这个观察，我们是不是可以大胆假设，前 n 个格子的麦粒总数就是 2^{n}-1 呢？如果这个假设成立，那么填满 64 格需要的麦粒总数，就是 1+2+2{2}+2{3}+2^{4}+……＋ 2^{63}
＝2^{64}-1＝18446744073709551615。
数学归纳法的一般步骤是这样的：
证明基本情况（通常是 n=1 的时候）是否成立；
假设 n=k-1 成立，再证明 n=k 也是成立的（k 为任意大于 1 的自然数）。
第一个子命题是，第 n 个棋格放的麦粒数为 2^{n-1}。第二个子命题是，前 n 个棋格放的麦粒数总和为 2^{n}-1。
基本情况：我们已经验证了 n=1 的时候，第一格内的麦粒数为 1，和 2^{1-1} 相等。因此，命题在 k=1 的时候成立。
假设第 k-1 格的麦粒数为 2^{k-2}。那么第 k 格的麦粒数为第 k-1 格的 2 倍，也就是 2^{k - 2}*2=2^{k-1}。因此，如果命题在 k=n-1 的时候成立，那么在 k=n 的时候也成立。
基本情况：我们已经验证了 n=1 的时候，所有格子的麦粒总数为 1。因此命题在 k=1 的时候成立。
假设前 k-1 格的麦粒总数为 2^{k-1}-1，基于前一个命题的结论，第 k 格的麦粒数为 2^{k-1}。那么前 k 格的麦粒总数为 (2{k-1}-1)+(2{k-1})=2*2{k-1}-1=2{k}-1。因此，如果命题在 k=n-1 的时候成立，那么在 k=n 的时候也成立。
和使用迭代法的计算相比，数学归纳法最大的特点就在于“归纳”二字。它已经总结出了规律。只要我们能够证明这个规律是正确的，就没有必要进行逐步的推算，可以节省很多时间和资源。
从这个图可以看出，函数从 k=63 开始调用，然后调用 k-1，也就是 62，一直到 k=1 的时候，嵌套调用结束，k=1 的函数体开始返回值给 k=2 的函数体，一直到 k=63 的函数体。从 k=63, 62, …, 2, 1 的嵌套调用过程，其实就是体现了数学归纳法的核心思想，我把它称为逆向递推。而从 k=1, 2, …, 62, 63 的值返回过程，和上一篇中基于循环的迭代是一致的，我把它称为正向递推。
总结
数学归纳法在理论上证明了命题是否成立，而无需迭代那样反复计算，因此可以帮助我们节约大量的资源，并大幅地提升系统的性能。
数学归纳法实现的运行时间几乎为 0。不过，数学归纳法需要我们能做出合理的命题假设，然后才能进行证明。
