数学归纳法：搞定循环与递归的钥匙

数学归纳法：搞定循环与递归的钥匙

1. 温故知新：数学归纳法

计算机的本质，是一个用来计算的工具，它最开始就是帮助我们完成一些现实世界里面的计算任务，并且完成的又快又好。那么现实世界的问题，是如何转换成可以在计算机中计算的任务呢？这个转换的过程中，都有哪些必不可少的东西呢？

在这幅图中，我们把转换过程分成四个部分：“现实世界”“数学”“算法”和“计算机”。这四个部分形成了一个路线，也就是从现实世界中的实际问题，到计算机中的可计算任务的过程。

现实世界中的问题，本质是可以计算的，也就是说实际问题都可以做数学建模。

算法是将数学问题，转换到计算机中的计算任务的桥梁。

计算机的核心是算法，算法的核心是数学。

其实数学归纳法的三个步骤，总结起来就是，有一个已知正确的初始状态，然后证明如果前一个状态成立，那么后一个状态也成立（这一步主要在做过程正确性的证明），最后就是得出结论，在这个初识状态和转移过程的正确保证下，所有问题中的状态都成立。

第一步，验证边界条件，第一块多米诺骨牌倒下了。

第二步，就是假设，第 n 块倒下了，根据多米诺骨牌的结构性质，那么如果存在 n + 1 块，第 n + 1 块也一定会倒下。

第三步，得出结论，只要第一块倒了，所有的多米诺骨牌都会倒下。

2. 深入浅出：理解递归函数

什么是递归呢？递归是一种编程技巧。

递归程序设计中的重要的两部分：边界条件和处理过程

• 所谓边界条件，就是当递归函数中的参数等于多少的时候，可以直接返回的条件。
• 处理过程呢，就是设计程序过程，处理递归调用的返回结果，根据递归调用的返回结果，得到本函数的结果。

总结

1. 数学归纳法中重要的两部分，一是要边界条件成立，二是证明转移过程成立。
2. 程序设计最重要的是正确性，递归函数的正确性可以利用数学归纳法来保证。