线性基学习笔记

概念

线性基是向量空间的一组基，通常可以解决有关异或的一些题目。

性质

线性基有三大性质

(1)、原序列里面的任意一个数都可以由线性基里面的一些数异或得到

(2)、线性基里面的任意一些数异或起来都不能得到 (0)

(3)、线性基里面的数的个数唯一，并且在保持性质一的前提下，数的个数是最少的

线性基的题目一般都是对这三大性质的考察

要想了解性质，我们首先要知道线性基是如何构造的

构造

对原集合的每个数 (p) 转为二进制，从高位向低位扫，对于第 (x) 位是 1 的，如果 (a_x) 不存在，那么令 (a_x=p) 并结束扫描，如果存在，令 (p=p xor a_x)。

代码

void ad(long long now){
	for(rg int i=60;i>=0;i--){
		if(now==0) return;
		if(now&1LL<<(i-1)){
			if(d[i]){
				now^=d[i];
			} else {
				d[i]=now;
				return;
			}
		}
	}
}

证明

对于性质一，分两种情况讨论

如果 (x) 没有插入成功，那么 (x) 必定在异或一些数后变成了 (0)

就有 (d[i] xor d[j] xor d[k]...xor x=0)

也就是 (d[i] xor d[j] xor d[k]...=x)

如果 (x) 插入成功

则 (d[i] xor d[j]...xor x=d[k])

变一下就是 (d[i] xor d[j] xor d[k]...=x)

对于性质二

如果 (d[i] xor d[j] xor d[k]=0)

那么较晚插入的那一个一定会被异或成 (0)，不会插入线性基

对于性质三

目前不会证，建议看这篇博客

用途

(1)、查询 (n) 个数异或的最大值。

从高位到低位贪心地选，如果异或当前位的线性基后答案变得更大就异或上，否则就不选

代码

void cx(){
	long long ans=0;
	for(rg int i=60;i>=0;i--){
		if((ans^d[i])>ans) ans^=d[i];
	}
	printf("%lld
",ans);
}

(2)、查询 (n) 个数异或的最小值。

就是线性基中最小的值

如果有插入不成功的情况，答案就是 (0)

(3)、查询某个数是否能被异或得到。

看一下这个数能否成功插入线性基

如果可以，就能被异或得到，否则不能

(4)、查询 (n) 个数异或的 (k) 小值

首先，要对这个序列的线性基处理一下，对于每一个 (d[i]) ，

枚举 (j=i o 1)，如果 (d[i]_{(2)}) 的第 (j) 位为 (1)

那么 (d[i] xor d[j-1])

其实就是让每一个线性基提供自己最高位上的一

这样，我们只需要把 (k) 进行二进制分解，贪心去选即可

异或之后得到的数组仍然是一个线性基

也就是说一个序列的线性基不唯一，只是元素数量唯一而已

题目

P4570 [BJWC2011]元素

利用了性质三，贪心地选择

P3857 [TJOI2008]彩灯

同样利用了性质三

P3292 [SCOI2016]幸运数字

线性基可以支持 (RMQ)