洛谷 P2617 Dynamic Rankings 树套树

题目描述

给定一个含有 (n) 个数的序列 (a[1],a[2],a[3]……a[n])，程序必须回答这样的询问：对于给定的(i,j,k)，在(a[i],a[i+1],a[i+2]……a[j])中第(k)小的数是多少((1≤k≤j-i+1))，并且，你可以改变一些(a[i])的值，改变后，程序还能针对改变后的(a)继续回答上面的问题。

输入格式

第一行有两个正整数(n(1≤n≤10000))，(m(1≤m≤10000))。分别表示序列的长度和指令的个数。
第二行有(n)个数，表示(a[1],a[2]……a[n])，这些数都小于(10^9)。
接下来的(m)行描述每条指令
每行的格式是下面两种格式中的一种。
(Q i j k) 或者 (C i t)
(Q i j k) （(i,j,k)是数字，(1≤i≤j≤n), (1≤k≤j-i+1)）
表示询问指令，询问(a[i])，(a[i+1]……a[j])中第(k)小的数。
(C i t (1≤i≤n，0≤t≤10^9))表示把(a[i])改变成为(t m,n≤10000)

输出格式

对于每一次询问，你都需要输出他的答案，每一个输出占单独的一行。

样例

样例输入

5 3
3 2 1 4 7
Q 1 4 3
C 2 6
Q 2 5 3

样例输出

3
6

分析

对于静态的区间第 (k) 大，我们利用前缀和的思想用主席树解决
对于动态的区间第 (k) 大，如果我们去暴力修改前缀和，时间复杂度(nlogn)是无法接受的
我们可以用树状数组优化这个过程，每次只修改 (logn) 颗线段树
这样可以做到单次修改 (logn^2) 的复杂度

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define rg register
inline int read(){
	rg int x=0,fh=1;
	rg char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9'){
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return x*fh;
}
const int maxn=1e5+5;
inline int lb(int xx){
	return xx&-xx;
}
int sta[maxn<<1],tp=0,n,m,a[maxn],rt[maxn],cnt,jl[2][22],cnt0,cnt1;
struct jie{
	char op;
	int ac1,ac2,ac3;
	jie(){}
	jie(char aa,int bb,int cc,int dd){
		op=aa,ac1=bb,ac2=cc,ac3=dd;
	}
}b[maxn];
struct trr{
	int l,r,lch,rch,val;
}tr[maxn<<4];
int build(int da,int l,int r){
	da=++cnt;
	tr[da].l=l,tr[da].r=r;
	if(tr[da].l==tr[da].r){
		return da;
	}
	rg int mids=(tr[da].l+tr[da].r)>>1;
	tr[da].lch=build(tr[da].lch,l,mids);
	tr[da].rch=build(tr[da].rch,mids+1,r);
	return da;
}
int ad(int da,int pre,int wz,int val){
	if(!da){
		da=++cnt;
		tr[da].l=tr[pre].l;
		tr[da].r=tr[pre].r;
	}
	tr[da].val+=val;
	if(tr[da].l==tr[da].r){
		return da;
	}
	rg int mids=(tr[da].l+tr[da].r)>>1;
	if(wz<=mids) tr[da].lch=ad(tr[da].lch,tr[pre].lch,wz,val);
	else tr[da].rch=ad(tr[da].rch,tr[pre].rch,wz,val);
	return da;
}
void prexg(int wz,int val){
	for(rg int i=wz;i<=n;i+=lb(i)){
		rt[i]=ad(rt[i],rt[0],a[wz],val);
	}
}
int cx(int l,int r,int k){
	if(l==r) return l;
	rg int mids=(l+r)>>1,nans=0;
	for(rg int i=1;i<=cnt1;i++){
		nans+=tr[tr[jl[1][i]].lch].val;
	}
	for(rg int i=1;i<=cnt0;i++){
		nans-=tr[tr[jl[0][i]].lch].val;
	}
	if(k<=nans){
		for(rg int i=1;i<=cnt0;i++){
			jl[0][i]=tr[jl[0][i]].lch;
		}
		for(rg int i=1;i<=cnt1;i++){
			jl[1][i]=tr[jl[1][i]].lch;
		}
		return cx(l,mids,k);
	} else {
		for(rg int i=1;i<=cnt0;i++){
			jl[0][i]=tr[jl[0][i]].rch;
		}
		for(rg int i=1;i<=cnt1;i++){
			jl[1][i]=tr[jl[1][i]].rch;
		}
		return cx(mids+1,r,k-nans);
	}
}
int precx(int l,int r,int k){
	memset(jl,0,sizeof(jl));
	cnt0=cnt1=0;
	for(rg int i=r;i>0;i-=lb(i)){
		jl[1][++cnt1]=rt[i];
	}
	for(rg int i=l-1;i>0;i-=lb(i)){
		jl[0][++cnt0]=rt[i];
	}
	return cx(1,tp,k);
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=read();
		sta[++tp]=a[i];
	}
	rg int aa,bb,cc;
	rg char ch;
	for(rg int i=1;i<=m;i++){
		scanf(" %c",&ch);
		aa=read(),bb=read();
		if(ch=='Q'){
			cc=read();
			b[i]=jie(ch,aa,bb,cc);
		} else {
			sta[++tp]=bb;
			b[i]=jie(ch,aa,bb,0);
		}
	}
	std::sort(sta+1,sta+1+tp);
	tp=std::unique(sta+1,sta+1+tp)-sta-1;
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=std::lower_bound(sta+1,sta+1+tp,a[i])-sta;
	}
	for(rg int i=1;i<=m;i++){
		if(b[i].op=='C') b[i].ac2=std::lower_bound(sta+1,sta+1+tp,b[i].ac2)-sta;
	}
	rt[0]=build(1,1,tp);
	for(rg int i=1;i<=n;i++){
		prexg(i,1);
	}
	for(rg int i=1;i<=m;i++){
		if(b[i].op=='Q') printf("%d
",sta[precx(b[i].ac1,b[i].ac2,b[i].ac3)]);
		else {
			prexg(b[i].ac1,-1);
			a[b[i].ac1]=b[i].ac2;
			prexg(b[i].ac1,1);
		}
	}
	return 0;
}