跳一跳 概率与期望

跳一跳 概率与期望

题目描述

现有一排方块，依次编号为 (1...n)。

方块 (1) 上有一个小人，已知当小人在方块 (i)上时，下一秒它会等概率地到方块 (i)（即不动），方块(i+1) ，方块(i+2)$ …(方块)n$ 上。

求小人到达方块(n) 所需要的期望时间（单位：秒）。

输入格式

一个数字(n) 。

输出格式

若答案 (ans=frac{A}{B})输出(A imes B ^{-1} mod(10^9+7)) 。其中(B^{-1}) 表示(B mod (10^9+7)) 下的逆元。

样例

样例输入 1

1

样例输出 1

0

样例输入 2

10000000

样例输出 2

406018741

数据范围与提示

对于(50\%) 的数据，(n leq 10^6)。

对于(100\%) 的数据，(1 leq n leq 10^7)。

分析

我们设(f[i])为从位置(i)到达位置(n)的期望步数

初始时有(f[n]=0)

很显然(f[i]=(f[i]+f[i+1]+f[i+2]+...+f[n])/(n-i+1)+1)

因为式子左右两边都含有(f[i])，因此我们需要将其消掉

我们在式子左右两边同时乘上((n-i+1))

那么会有 (f[i] imes (n-i+1)=f[i]+f[i+1]+f[i+2]+...+f[n]+n-i+1)

移项会有(f[i] imes (n-i)= sum_{j=i+1}^nf[j] + n-i+1)

因此(f[i]=(sum_{j=i+1}^nf[j] + n-i+1) imes (n-i)^{-1})

转移时顺便记录一下后缀和

因为这道题卡空间，所以(f)不能开数组，要用变量滚动

代码

#include<cstdio>
const int maxn=1e7+5;
const int mod=1e9+7;
int ny[maxn],n,ans,sum;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    ny[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        ny[i]=1LL*(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
    }
    ans=0;
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        ans=1LL*(sum+n-i+1LL)*ny[n-i]%mod;
        sum=(sum+ans)%mod;
    }
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}