数组最大子数组和（续）之动态规划

前景介绍：

之前我们一直使用枚举法求和，这是我们的新方法--动态规划。

问题描述：

给定一个整数数组a[0~n]，求数组a的子数组，使其元素和为最大。

问题分析：

方法一：可以用普通的方法枚举所有的子数组，然后求出最大的子数组和，时间复杂度为O(n*n)。

方法二：问题描述符合动态规划最优子结构的要求。

设b[i]表示以a[i]结尾 的子数组的最大子段和，即：

b[i]=max{sum(a[j~k])},其中0<=j<=i，j<=k<=i。

因此对于数组a[0~n]的最大字段和为max{b[i]}，其中0<=i<n。

在计算b[i]时，可以考虑以下三种情况：

1，b[i] = b[i-1]+a[i]，当b[i-1]>0时，这时候的b[i]中包含a[i]。

2，b[i] = a[i]，当b[i-1]<=0，这时候以a[i]重新作为b[i]的起点。

3，b[i]不包含a[i]的情况，这种情况在计算b[i]之前已经计算处结果，保存在b[0~i-1]中。最后计算max{b[i]}时会考虑到。

b[i] = max{ b[i-1]+a[i]，a[i]}。

而数组a[0~n]则为max{b[i]}。

在实现时，可以省略数组b[i]。实现如下：

 #include <iostream>   
 using namespace std;   
 #define N 10    
 int max_sub_array(int &s,int &e,int * a)   
 {   
         int i=0;   
         int j =0;   
         int b,start,end;   
         int sum = 0;   
         sum = b = a[0];   
         s = e = start = end = 0;//s和e是整个数组a[0~n]的最大子段的起末位置。start和end是数组a[0~i]的起末位置。  
    for(i = 1;i<N;i++)   
   {   
          if(b>0)   
          {   
                 b = b + a[i];   
                  end = i;   
           }   
           else  
           {   
                  b = a[i];   
                   start = end = i;   
           }   
            if(sum<b)   
              {   
                     sum = b;   
                     s = start;   
                       e = end;   
               }   
        }   
        return sum;   
}   
 int main()   
 {   
         int a[N]={31,-41,59,26,-53,58,97,-93,-23,84};   
        int start,end;   
        int sum = max_sub_array(start,end,a);   
        cout << sum << "  "<<start<< " "<<end<< endl;   
 }