刷题50—水壶问题

87.水壶问题

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem

题目描述

有两个容量分别为 x升 和 y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶，从而可以得到恰好 z升 的水？

如果可以，最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的 z升 水。

你允许：

装满任意一个水壶
清空任意一个水壶
从一个水壶向另外一个水壶倒水，直到装满或者倒空
示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True
示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

关键技术

首先，从两个水壶里的整体水量来看，每次操作，可分为下列情况：
1.往空壶里加满水，总量加x/y；
2.倒掉一壶水（满），总量减x/y；
3.倒掉一壶水（不满），总量变成x/y/0；
4.往不满的壶里加水，总量变为x/y/x+y；
5.从一个壶往另一个壶里倒水，总量不变；

所以，两个壶里水的总量一定是ax+by（a,b为整数），立即推，当z=ax+by时，返回true。

然后是贝祖定理：若x,y是整数,且gcd(x,y)=d，那么对于任意的整数a,b,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数a,b，使ax+by=d成立。

由贝祖定理可知，若存在整数a,b，使得ax+by=z成立，则z一定为x.y最大公因数的整数倍。

证明如下：

设x,y的最大公因数为d；
故存在整数i,j,使得x=id,y=jd；
若ax+by=z成立，则
ax+by = a*(id)+b(jd) = (ai+b*j)*d = z；
由此可得，z为d的整数倍。

所以，这道题就变成了判断z是否是x,y最大公因数的整数倍

来源：https://leetcode-cn.com/problems/water-and-jug-problem/solution/cyu-yan-shu-xue-jie-fa-tai-xiu-liao-dai-ma-jian-ji/

题目分析

1. 当z为0的时候，返回true;
2. 当x+y<z的时候，返回false,因为x+y>z的时候，无论怎么用这两个杯子都无法恰好得到z升的水;
3. z = ax+by的时候，返回true，即z是x和y的最大公约数的倍数的时候，返回true；

/**
 * @param {number} x
 * @param {number} y
 * @param {number} z
 * @return {boolean}
 */
var canMeasureWater = function(x, y, z) {
    if(z === 0) return true;
    else if(x + y < z) return false;
    else{
        return z % gcd(x,y) === 0;

    }
    function gcd(a,b){
        return b === 0 ? a: gcd(b, a % b);
    }

};