poj3744 Scout YYF I

题意：n个地雷(n<=10)在长度10^8的坐标轴上,yyf从横坐标为1的点开始,每一步有p的概率向右跳一格,(1-p)的概率向右跳两格(不会踩到中间一格),如果踩到地雷他就会死.问活下来的概率.(其实我们的yyf小朋友是被派去滚雷?)
首先考虑一个暴力的DP.记f[i]为活着经过横坐标为i的点的概率,
如果点i处无地雷则f[i]=f[i-1]*p+f[i-2]*(1-p)
如果点i处有地雷则f[i]=0
由此我们知道,如果yyf能活下来,他一定会经过最后一个地雷右边一格的位置t,所以我们要求的就是f[t],但是直接做显然会TLE.
这时候需要我们的一点直觉,就是DP数组在处理较长一段没有地雷的路径时会趋向于一个定值.可以认为离得很远的地雷对DP状态的贡献小到精度范围内可以忽略不计.通过打表观察发现大概500次就可以保证DP数组收敛到一个定值上(下界可能比500更低,因为已经足够通过本题就没有再试)
因此我们对于每一段没有地雷的区间,如果这段区间长度大于500,就把这段区间的长度缩减至500(具体实现时,如果这段区间的长度和500的差值为delta,就把这段区间后面的所有地雷的横坐标都减去delta),这里注意起点和第一个地雷之间的区间也要缩减(RuntimeError一发).然后再DP,区间总长度不会超过5000,稳稳地过了.如果题目中地雷的数目多一些,就可以卡掉这个做法.(如果要卡掉矩乘,需要坐标范围大到取log之后依然超时,不过范围出成那样也比较容易想到是缩减区间长度)
总结:对于有大范围是简单的特殊情况的问题,我们常常可以通过贪心,找规律等方法有效缩减问题规模,例如这道题和noip2005的过河都考虑到较长一段没有障碍物的区间将不会影响答案,还有poj的up and down用到贪心思想抽象出最短路的建图.
另外这道题网上除了漫天的矩阵快速幂,还有一种神奇的数学方法,见http://blog.csdn.net/qq_26572969/article/details/46825971

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
double f[10000];
int a[20];
bool mine[10000];
int main(){
  int n;double p;
  while(scanf("%d%lf",&n,&p)!=EOF){
    for(int i=1;i<=n;++i){
      scanf("%d",&a[i]);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    for(int i=0;i<n;++i){
      if(a[i+1]-a[i]>500){
    for(int j=n;j>i;--j){
      a[j]-=(a[i+1]-a[i]-500);
    }
      }
    }
    memset(f,0,sizeof(f));memset(mine,0,sizeof(mine));
    for(int i=1;i<=n;++i)mine[a[i]]=true;
    f[1]=1;
    int t=a[n]+1;
    for(int i=0;i<=a[n];++i){
      if(!mine[i]){
    f[min(i+1,t)]+=f[i]*p;f[min(i+2,t)]+=f[i]*(1-p);
      }
    }
    printf("%.7f
",f[t]);
  }
  return 0;
}