动态规划之硬币找零问题

问题描述:

假设有几种硬币，并且数量无限。请找出能够组成某个数目的找零所使用最少的硬币数。例如几种硬币为[1, 3, 5], 面值2的最少硬币数为2(1, 1), 面值4的最少硬币数为2(1, 3), 面值11的最少硬币数为3(5, 5, 1或者5, 3, 3).

问题分析:

假设不同的几组硬币为数组coin[0, ..., n-1]. 则求面值k的最少硬币数count(k), 那么count函数和硬币数组coin满足这样一个条件:

• count(k) = min(count(k - coin[0]), ..., count(k - coin[n - 1])) + 1; 
• 并且在符合条件k - coin[i] >= 0 && k - coin[i] < k的情况下, 前面的公式才成立.

因为k - coin[i] < k的缘故, 那么在求count(k)时, 必须满足count(i)(i <- [0, k-1])已知, 所以这里又涉及到回溯的问题.

所以我们可以创建一个矩阵matrix[k + 1][coin.length + 1], 使matrix[0][j]全部初始化为0值, 而在matrix[i][coin.length]保存面值为i的最少硬币数.

而且具体的过程如下:

    * k|coin  1   3   5   min
    * 0       0   0   0   0
    * 1       1   0   0   1
    * 2       2   0   0   2
    * 3       3   1   0   3, 1
    * 4       2   2   0   2, 2
    * 5       3   3   1   3, 3, 1
    * 6       2   2   2   2, 2, 2
    * ...

最后, 具体的Java代码实现如下:

    public static int backTrackingCoin(int[] coins, int k) {//回溯法+动态规划
        if (coins == null || coins.length == 0 || k < 1) {
            return 0;
        }
        int[][] matrix = new int[k + 1][coins.length + 1];
        for (int i = 1; i <= k; i++) {
            for (int j = 0; j < coins.length; j++) {
                int preK = i - coins[j];
                if (preK > -1) {//只有在不小于0时, preK才能存在于数组matrix中, 才能够进行回溯.
                    matrix[i][j] = matrix[preK][coins.length] + 1;//面值i在进行回溯
                    if (matrix[i][coins.length] == 0 || matrix[i][j] < matrix[i][coins.length]) {//如果当前的硬币数目是最少的, 更新min列的最少硬币数目
                        matrix[i][coins.length] = matrix[i][j];
                    }
                }
            }
        }
        return matrix[k][coins.length];
    }

代码经过测试, 题目给出的测试用例全部通过!