算法设计与分析——习题一

习题1

1.1. 用于计算gcd(m,n)的欧几里得算法

 

1.1.1. 算法描述

 辗转相除法，又名欧几里得算法（Euclidean algorithm），是求最大公约数(greater common divisor)的一种，通常做法是：用较小的数去除较大的数，用第二余数再去除第一余数，最终我们可以得到最终的余数为0以及最大公约数。

 

1.1.2.伪代码

Euclid(m,n)

//使用Euclid计算gcd(m,n)

//输入:两个不全为0的非负整数m,n

//输出:m,n的最大公约数

while n≠0 do

  r ← m mod n

  m← n

  n ← r

return m

 

1.1.3.算法实现

int Euclid(int m,int n){

    int r;

    while(n!=0){

        r=m%n;

        m=n;

        n=r;

    }

    return m;

}

 

1.2. 用于计算gcd(m,n)的枚举算法

 

1.2.1.算法描述

枚举算法，是求最大公约数的一种，通常做法是：从1到自己本身进行遍历，如果说能够被整除，那么将这个数进行返回。

 

1.2.2.伪代码

 enumeration(m,n)

//使用 enumeration计算gcd(m,n)

//输入:两个不全为0的非负整数m,n

//输出:m,n的最大公约数

for i 1 to n by incr 1 do

  if ((n mod i == 0) and (m mod i == 0) ) then

ans = n

     end if

return ans

 

1.2.3.算法实现

int  enumeration(int m,int n){

    int res=1;

    for(int i=1;i<=n;i++)

        if(m%i==0&&n%i==0) res=i;

    return res;

}

 

1.3. 实现Eratosthenes筛选法

 

1.3.1.算法描述

埃拉托色尼筛选法(sieve of Eratosthenes) ，是用来筛选素数(Prime)的一种方法，通常做法是：新建一个布尔类型的数组，从1到该数字的平方根(root)进行遍历，将自己本身的倍数变为1，那么，剩余为0的数字将是素数

 

1.3.2.伪代码

Eratos(n)

//使用sieve of Eratosthenes打印素数表

//输入：给定数字的最大区间

//输出：小于该数字的自然数的所有素数(从小到大)

np[n+1]

for i 1 to n+1 incr 1 do

while i*j<=n do

Np[i*j]=1

for i 2 to n+1 incr 1 do

if np[i]==0 then

print i

end if

1.3.3.算法实现

void Eratos(int n){

    int np[n+1]={0};

    for(int i=2;i*i<=n;i++)

        for(int j=2;j*i<=n;j++)

            np[j*i]=1;

    for(int i=2;i<n+1;i++)

        if(np[i]==0) cout<<i<<" ";

}

 

1.4. 试验小结

 

算法	时间复杂度	空间复杂度
欧几里得算法	O(logn)	O(1)
枚举算法	O(n)	O(1)
埃拉托色尼筛选法	O(nlogn)	O(1)

表1-1

关于三种算法，时间空间复杂度分析如上表1-1，算法课第一节课我们学习了欧几里得和枚举两种可计算gcd的算法，然而，我们欧几里得算法仍然可以简化代码，简化为递归进行求解gcd，这样实现，时间复杂度并不会提高，而空间复杂度会提高。埃氏筛法和传统素数求解不一样，传统素数求解需要O(n^2)的时间复杂度，这种筛法大大提高了求解素数的效率。