01分数规划总结

\(01\)分数规划

【挖坑待填】

水平所限，01分数规划刚刚入门，还是由SPFA求负环的题引入的01分数规划，还是完成了入门篇之后，回到学习主线，继续学习SPFA+负环的图论章节，待知识体系完善后，三刷再来攻克其它相关试题。
黄海　于2022-11-10 17:04

01分数规划问题 - 笔记

牛人精讲

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专题 01分数规划保证你看不懂

一、定义

\(01\)分数规划问题：所谓的\(01\)分数规划问题就是指这样的一类问题，给定两个数组，\(a[i]\)表示选取\(i\)的收益，\(b[i]\)表示选取\(i\)的代价。如果选取\(i\)，定义\(w[i]=1\)否则\(w[i]=0\)。每一个物品只有选或者不选两种方案，求一个选择方案使得

\[\large \displaystyle R=\frac{\sum (a[i] \times w[i])}{\sum (b[i]\times w[i])} \]

取得最值，即所有选择物品的总收益/总代价的值 最大 或是 最小

\(01\)分数规划问题主要包含一般的\(01\)分数规划、最优比率生成树问题、最优比率环问题、最大密度子图等。我们将会对这四个问题进行讨论。

永远要记得，我们的目标是使\(R\)取到最值。这句话我会在文中反复的强调

二、为啥不能直接按性价比排序，从大到小找出指定个数不就行了吗？

如果真要这么干，那是贪心的作法，这样做是不对的，原因：
举个反例：

\[\LARGE \frac{3}{1} ~~~~ \frac{80}{40}(\frac{2\times 40}{1\times 40}) ~~~~ \frac{1.9}{1} \]

\(k=2\),就是需要选择出两组来，保证选择的性价比值最高。

形象化理解一下：

• ① \(\large \displaystyle \frac{3}{1}\),表示价值\(3\),重量\(1\)
• ② \(\large \displaystyle \frac{80}{40}\),表示价值\(80\),重量\(40\)
• ③ \(\large \displaystyle \frac{1.9}{1}\),表示价值\(1.9\),重量\(1\)

按单个性价比排序，应该是 \(\large ①>②>③\)，按贪心思想，应该选择\(\large ①,②\)

而如果按上面加和，除以，下面加和的话就是：

\(\displaystyle①+②=\frac{3+80}{1+40}=2.024\)

\(\displaystyle ①+③=\frac{3+1.9}{1+1}=2.45\)
很明显\(\large ①+③>①+②\)

应该选择 \(\large ①+③\)这个组合!

总结：上来就除，除完再排名，和，上面加和 除以 下面加和 不是一回事，要想清楚！

三、分析过程

数学分析中一个 很重要的方法 就是 分析目标式，来看目标式:

\[\large \displaystyle R =\frac{\sum (a[i]\times w[i])}{\sum(b[i]\times w[i])} \]

分析一下它有什么性质:

我们先定义一个函数

\[\large F(L):=\sum(a[i]\times w[i])-L\times \sum(b[i]\times w[i]) \]

显然这只是对目标式的一个简单的变形。

分离参数，得到

\[\large F(L):= w[i] \times \sum(a[i]-L\times b[i]) \]

这时我们就会发现，如果\(L\)已知的话，\(\large a[i]-L\times b[i]\)就是已知的，当然\(w[i]\)是未知的 。记

\[\large d[i]=a[i]-L\times b[i] \]

那么

\[\large F(L):=w[i]\times \sum(d[i]*x[i]) \]

多么简洁的式子,我们就对这些东西下手了。

再次提醒一下，我们的目标是使\(R\)取到最大值

我们来分析一下这个函数，它与目标式的关系非常的密切，\(L\)就是目标式中的\(R\)，最大化\(R\)也就是最大化\(L\)。

\(F\)的值是由两个变量共同决定的，即方案\(X\)和参数\(L\)。对于一个确定的参数\(L\)来说，方案的不同会导致对应的\(F\)值的不同，那么这些东西对我们有什么用呢?

假设我们已知存在一个方案\(X\)使得\(F(L)>0\)，这能够证明什么?

\[\large F(L):=\sum (a[i]\times w[i])-L\times \sum (b[i]\times w[i])>0 \]

即

\[\large \frac{\sum(a[i]\times w[i])}{\sum(b[i]\times w[i])} >L \]

也就是说，如果一个方案使得\(F(L)>0\)说明了这组方案可以得到一个比现在的\(L\)更优的一个\(L'\)，既然有一个更优的解，那么为什么不用呢？

显然，\(d\)数组是随着\(L\)的增大而单调减的。也就是说，存在一个临界的\(L\)使得不存在一种方案，能够使\(F(L)>0\). 我们猜想，这个时候的\(L\)就是我们要求的 最优解。之后更大的\(L\)值则会造成无论任何一种方案，都会使\(F(L)<0\).类似于上面的那个变形，我们知道，\(F(L)<0\)是没有意义的，因为这时候的\(L\)是不能够被取得的。当\(F(L)=0\)使，对应方案的\(R\)值恰好等于此时的\(L\)值。

综上，函数\(F(L)\)有这样的一个性质：在前一段\(L\)中可以找到一组对应的\(X\)使得\(F(L)>0\)，这就提供了一种证据，即有一个比现在的\(L\)更优的解，而在某个\(L\)值，存在一组解使得\(F(L)=0\),且其他的\(F(L)<0\)，这时的\(L\)无法继续增大，即这个\(L\)就是我们期望的最优解，之后的\(L\)会使得无论哪种方案都会造成\(F(L)<0\).而我们已经知道，\(F(L)<0\)是没有任何意义的，因为此时的\(L\)值根本取不到。

最后一次提醒，我们的目标是\(R\)！！！

如果现在你觉得有些晕的话，那么我要提醒你的就是，千万不要把\(F\)值同\(R\)值混淆。\(F\)值是根据我们的变形式求的\(d\)数组来计算的，而\(R\)值则是我们所需要的真实值，他的计算是有目标式决定的。\(F\)值只是提供了一个证据，告诉我们真正最优的\(R\)值在哪里，他与\(R\)值本身并没有什么必然的联系。

根据这样的一段性质，很自然的就可以想到二分\(L\)值，然后验证是否存在一组解使得\(F(L)>0\)，有就移动下界，没有就移动上界。

所有的\(01\)分数规划都可以这么做，唯一的区别就在于求解时的不同——因为每一道题的限制条件不同，并不是每一个解都是可行解的。比如在普通的数组中，你可以选取\(1、2、3\)号元素，但在生成树问题中，假设\(1、2、3\)号元素恰好构成了一个环，那就不能够同时选择了，这就是需要具体问题，具体分析的部分。

二分是一个非常通用的办法，但是我们来考虑这样的一个问题，二分的时候我们只是用到了\(F(L)>0\)这个条件，而对于使得\(F(L)>0\)的这组解所求到的\(R\)值没有使用。因为\(F(L)>0\),我们已经知道了\(R\)是一个更优的解，与其漫无目的的二分，为什么不将解移动到\(R\)上去呢？求\(01\)分数规划的另一个方法就是\(Dinkelbach\)算法，他就是基于这样的一个思想，他并不会去二分答案，而是先随便给定一个答案，然后根据更优的解不断移动答案，逼近最优解。由于他对每次判定使用的更加充分，所以它比二分会快上很多。但是，他的弊端就是需要保存这个解，而我们知道，有时候验证一个解和求得一个解的复杂度是不同的。二分和\(Dinkelbach\)算法写法都非常简单，各有长处，大家要根据题目谨慎使用。

五、实践

上面啰嗦了这么多，现在给出程序的框架。

二分法

L = 1 ; R = INF;
while( R - L > Eps)
  Mid:=(L+R)/2;
  For I=1..X do D[i]:=A[i]-Mid*B[i];//根据Mid计算D数组
  if check(Mid) 
    L:=Mid;
  else 
    R:=Mid；

\(Dinkelbach\)算法

L:=随便什么东西;
Repeat
  Ans:=L;
  For I=1..X do D[i]:=A[i]-L*B[i];//根据L计算D数组
  检查解并记录;
  p:=0;q:=0;
  for I=每一个元素 do 
    如果元素I在解中
      begin
        p:=p+A[i];q:=q+B[i];
      end;
  L:=p/q;//更新解
Until abs(Ans-L)<Eps;  

其中检查解的部分是要看具体情况的。

三、常见模型

1、\(01\)规划

裸\(01\)规划
例题：POJ2976 Dropping tests

大意：给定\(A\)数组\(B\)数组，让求删除\(k\)个数后,即保留(选择) \(N-K\)个使得\(R\)最大，输出\(Round(100*R)\)

分析：限制很简单，只是数目上有所限制，处理方法也很简单，求出\(D\)数组后从大到小排列，从前向后取\(N-K\)个即可，这时的\(D\)一定是最大的。

另外：如果是最小选择\(N-K\)个怎么办？

办法是一样的，从大到小排列序，傻子才多选，能少选就少选。反正\(F\)值具体的大小没什么关系，我们只要知道他与\(0\)的关系即可。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>

using namespace std;
const int N = 1010;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n, k;
int a[N], b[N];
const double eps = 1e-8;

double d[N];

bool check(double x) {
    for (int i = 0; i < n; i++) d[i] = a[i] - x * b[i];
    sort(d, d + n, greater<double>()); //由大到小排序

    double sum = 0;
    for (int i = 0; i < n - k; i++) sum += d[i];
    return sum >= 0; //从大到小选n-k个，看ans是否为可行的解
}

int main() {
    while (cin >> n >> k && (n || k)) {
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> a[i];
        for (int i = 0; i < n; i++) cin >> b[i];

        //浮点数二分
        double l = 0, r = INF;
        while (r - l > eps) {
            double mid = (l + r) / 2; //注意浮点数不能用右移操作
            if (check(mid))
                l = mid; //向右逼近，使结果更大一些
            else
                r = mid; //向左逼近，使结果更小一些
        }
        printf("%.0lf\n", l * 100); // 四舍五入
    }
    return 0;
}

2、\(01\)规划与最小生成树

最优比率生成树
例题：POJ2728 Desert King

3、01规划与环

最优比率生成环
例题：\(P1768\) 天路
\(Acwing\) \(361\) 观光奶牛

4、\(01\)规划与网络流

最优比率最小割
例题：\(Acwing\) \(2279\) 网络战争
题解：网络战争

[POJ2728]Desert King
[POJ3621]Sightseeing Cows