巧用隔板法快速攻破排列组合难题

如果让你把\(7\)个大小相同的橘子分给\(4\)个小朋友，要求每个小朋友至少分到\(1\)个橘子，问一共有多少种不同的分法？

　　看完问题后，你能快速得出答案吗？如果难倒你的话，那就说明你对排列组合中的隔板法还不太了解哦！

　首先，让我们一起来正确认识一下隔板法

隔板法主要针对的是 相同元素 的不同分堆问题。我们也可以把它理解为：

　　如果把\(n\)个相同的元素分给\(m\)个不同的对象，每个对象 至少有一个 ，问有多少种不同的分法的问题。其基本公式为：

\[\large C_{n-1}^{m-1} \]

然后，再来看一下隔板法都有哪些题型特征

隔板法一共有三种题型：①标准型、②多分型、③少分型，后两种都需要基于 标准型 来解题，具体要怎么操作呢？下面我们再来通过\(3\)个例题分别介绍一下隔板法的三种题型特征及应用，接着往下看

1、标准型

标准型需要同时具备的\(3\)个要求：

• 被分配的\(n\)个元素无差别
• 这\(n\)个元素分给\(m\)个不同对象
• 每个对象至少分 一个 元素

【解析】正确答案为\(C\)。

【解题思路】本题中相同的元素是\(6\)本相同的书，故\(n=6\)；放进\(4\)个抽屉，即将书分成\(4\)堆，故\(m=4\)；每个抽屉至少放\(1\)本书，故本题为隔板法中的标准题型。

【解题方法】把\(6\)本书排成一排，因为书是相同的，不存在排列顺序问题。要把这\(6\)本书分成\(4\)堆，只要在这\(6\)本书形成的空隙中插入\(5\)个隔板即可。\(6\)本书排成一排，形成了\(7\)个空。但是，因为要求每个抽屉至少放\(1\)本书，所以最前面的空和最后一个空是不能插板的，则只能在中间形成的\(5\)个空中插入\(3\)个隔板，即从\(5\)个空中选择\(3\)个空插入隔板，代入公式：

2、多分型

多分型需要同时具备的\(3\)个要求：

• 被分配的\(n\)个元素无差别
• 这\(n\)个元素分给\(m\)个不同的对象
• 每个对象至少分\(x\)个元素

【解析】正确答案为\(D\)。

【解题思路】此题中没有要求至少发\(1\)份，而是要求至少发\(9\)份的，因此需要将其 转化 为标准型的隔板模型，方法就是 先每个部门分\(x-1\)个元素，剩下的元素就转化为每个部门至少分一个元素了。

【解题方法】假设三个部门分别为\(A、B、C\)，每个部门可以先分\(8\)份，然后再把剩下的\(6\)份发给\(3\)个部门，保证每个部门发\(1\)份，代入公式：

\(3\)、少分型

少分型需要同时具备的\(3\)个要求：

• 被分配的\(n\)个元素无差别
• 这\(n\)个元素被分给\(m\)个不同的对象
• 被任意分给这\(m\)个不同的对象

【解析】正确答案为\(B\)。

【解题思路】这道题中说每个盒子可以为空，就意味着有的盒子可以分\(0\)个元素，因此可以采用 先借后还 的思路，先向每一个盒子借一个元素，总共就会有\(n\)个元素了，由于借了一个元素，接下来在分的时候，每个盒子则 至少需要分一个，这样就 转化 成了 标准的隔板模型。

【解题方法】在分之前先向每个盒子借\(3\)个小球，总共就会有\(23\)个小球，接下来分的时候需要再给每个盒子一个小球，就变成每个盒子至少分一个小球了，有多少种分法，代入公式：

　以上就是今天所讲的排列组合之隔板法的运用了，希望大家理解并能熟练运用！

【上文解锁】一共有\(20\)种不同的分法，你做对了吗？
【解析】此题为隔板法的标准型，因为相同的元素是\(7\)个大小相同的橘子，故\(n=7\)；给\(4\)个小朋友，故\(m=4\)；所以只要在这\(7\)个橘子\(6\)个空之间插入\(3\)个隔板即可，代入公式：

回到本题

\(15\)个笔记本，分给\(3\)个小朋友，每人最少分\(4\)个，属于【多分型】,先每人分\(3\)个，预处理一下：

\[\large 15-3*3=6 \]

\[\LARGE ○ ○ ○ ○ ○ ○ \]

属于在\(5\)个有用的 空格 中选择\(2\)个,即

\[\large C_5^2=\frac{5\times 4}{ 2 \times 1}=10 \]