一、题意
给一个\(n*m\)的矩阵，左下角为\((1,1)\)，右上角为\((n,m)\)，问从\((0,0)\)点可以看到多少个点。
二、分析
如果\((0,0)−>(x,y)\)和\((0,0)−>(x′,y′)\)两个向量共线，即\((0,0),(x,y),(x′,y′)\)三点共线，那后面的那个点\((x′,y′)\)就看不到了。
如果三点共线，那么向量\((x′,y′)\)一定可以表示成\((kx,ky)\)(其中\(k \in Z^+\)且\(k>1\),\(kx<=n,ky<=m\))，因此对于一个数对\((x，y)\),如果它们存在公因数，那么一定可以化简成最简，即互质的形式，那么这个互质的数对构成的向量应该是和原向量共线的，因此我们只能看到最前面那个互质的数对构成的点,其它不互质的都会被它前面的某个互质的挡住。
因此题目转变成求区间\([1,m],[1,n]\)之间互质数的对数
求解办法：
选取一个区间（为了优化选取小区间）比如说选取\([1,n]\)，枚举\(n\)里面的数\(i\)，然后对于每个数\(i\)我们看它在\([1,m]\)区间内能找到多少互质的数，把这些结果全部累加起来即可。
所以问题的最后变为了，给定一个数字\(x\)，找出它和\(1\)到\(y\)里面有多少个数互质。
三、容斥原理解法
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 10;
//返回1-m中与n互素的数的个数
vector<LL> p;
LL cal(LL n, LL m) {
p.clear();
for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
if (n % i == 0) {
p.push_back(i);
while (n % i == 0) n /= i;
}
}
if (n > 1) p.push_back(n); //求n的素因子
int num = p.size(); //素因子的个数
LL s = 0; // 1到m中与n不互素的数的个数
//枚举子集，不能有空集，所以从1开始
for (LL i = 1; i < 1 << num; i++) { //从1枚举到(2^素因子个数)
LL cnt = 0;
LL t = 1;
for (LL j = 0; j < num; j++) { //枚举每个素因子
if (i & (1 << j)) { //有第i个因子
cnt++; //计数
t *= p[j]; //乘上这个质因子
}
}
//容斥原理
if (cnt & 1) //选取个数为奇数，加
s += m / t;
else //选取个数为偶数，减
s -= m / t;
}
return m - s; //返回1-m中与n互素的数的个数
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
LL a, b;
scanf("%lld%lld", &a, &b);
LL res = 0;
//从1~n(b现在就是n)之间，找到所有与m(m现在就是i)互质的数字个数
for (int i = 1; i <= a; i++) res += cal(i, b);
printf("%lld\n", res);
}
return 0;
}