莫比乌斯函数

一、前导

要学习莫比乌斯函数 需要学习 到 积性函数，深度理解欧拉筛。
先说说什么是积性函数吧。

二、积性函数

其实积性函数非常好理解

1. 定义

积性函数：若\(gcd(a,b)=1\)，且满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称\(f(x)\)为积性函数

完全积性函数：对于任意正整数\(a，b\)，都满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)，则称\(f(x)\)为完全积性函数

2. 性质

1.若\(f(n),g(n)\)均为积性函数，则函数\(h(n)=f(n)g(n)\)也是积性函数

2.若\(f(n)\)为积性函数，则函数\(c*f(n)\)(\(c\)是常数)也是积性函数，反之一样

3.任何积性函数都能应用线性筛，在\(O(n)\)时间内求出\(1\sim n\)项(莫比乌斯就要用到)，像素数，欧拉函数等都是 积性函数。

知道这些之后，我们就来看莫比乌斯函数。

三、莫比乌斯函数

1. 定义

莫比乌斯函数主要是个分段函数。

\[\large \mu(n)= \large \left\{\begin{matrix} 1 && 若n=1 \\ (-1)^k && 若n无平方数和因数，且n=p_1p_2p_3...p_k \\ 0 && 若n有大于1的平方数 \end{matrix}\right. \]

\(μ(n)\) ——莫比乌斯函数，是关于非平方数的质因子数目

• 若\(n=1,μ(n) =1\)

• 若\(n\)存在有大于\(1\)方数因数（如\(4\)(\(2\)平方)，\(9\)(\(3\)的平方)，\(27\)(\(3\)的立方），则\(μ(n) =0\)

• 否则\(μ(n)\) 的结果取决于\(n\)根据算数基本定理分解的质因数个数的奇偶性来判断。比如\(n=3，5，7\)就只有一个质因数所以为\(μ(n)=-1\)，\(n=6,15,21\)，\(μ(n)\)就为\(1\)。

2. 求单个数字的莫比乌斯函数值

//单个数的莫比乌斯函数
int getmob(LL x) {
    int sum = 0;
    for (LL i = 2; i <= x / i; i++) { //从2开始，一直到 sqrt(x),枚举所有可能存的小因子
        int cnt = 0;
        if (x % i == 0) {                     //如果x可以整除i
            while (x % i == 0) cnt++, x /= i; //计数，并且不断除掉这个i因子
            if (cnt > 1) return 0;            //如果某个因子，存在两个及以上个，则返回0
            sum++;                            //记录因子个数
        }
    }
    if (x != 1) sum++;         //如果还存在另一个大因子，那么因子个数+1
    return (sum & 1) ? -1 : 1; //奇数个因子，返回-1,否则返回1
}

3.莫比乌斯有两种反演形式

\[\large \displaystyle F(n)=\sum_{d|n}f(d) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

\[\large F(n)=\sum_{n|d}f(d) \Leftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]

4.枚举倍数求莫比乌斯函数

//枚举倍数求莫比乌斯函数
LL mu[N] , sum[N];
void mobius(LL x) {
    mu[1] = 1;
    for (LL i = 1; i <= x; i++)
        for (LL j = i + i; j <= x; j += i)
            mu[j] -= mu[i];
    // 维护u(x)前缀和
    for (LL i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}

5.枚举约数求莫比乌斯函数

//筛法求莫比乌斯函数(枚举约数)
LL mu[N] , sum[N];
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_mobius2(LL n) {
    mu[1] = 1;
    for (LL i = 2; i <= n; i++) {
        if (!st[i]) {
            primes[cnt++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for (LL j = 0; primes[j] <= n / i; j++) {
            LL t = primes[j] * i;
            st[t] = true;
            if (i % primes[j] == 0) {
                mu[t] = 0;
                break;
            }
            mu[t] = mu[i] * -1;
        }
    }
     // 维护u(x)前缀和
    for (LL i = 1; i <= n; i++) sum[i] = sum[i - 1] + mu[i];
}

四、练习题

我们举例一道经典的应用题，求\(1\)到\(N\)中与\(a\)互质的数的个数：那么根据容斥原理，设\(S_i\)为\(1\)到\(N\)中和\(a\)有公因子\(i\)的数的个数，答案为\(N−S_2-S_3-S_5-S_7...+S_{2,3}+S_{3,5}+S_{2,5}...\),我们可以惊奇的发现，其答案为\(\large \displaystyle \sum_{i=1}^{N}\mu(i)*S_i\)。

我们可以根据线性筛质数在\(O(N)\)的时间内算出前\(N\)个数的莫比乌斯函数。