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用求卡特兰数的方法分析一下这个题目就可以得到答案,关于卡特兰数的分析:网址
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我们需要求出点(\(n, m\))关于\(y = x + 1\)对称的点的坐标,假设为\((a, b)\),则任何一种不合法的方案都可以转化为到达\((a, b)\)的路径,如下图:
则答案为:\(\large \displaystyle C_{m+n}^n-C_{m+n}^a\),问题就转变为了如何求解坐标\((a, b)\)
这种对称,\(yxc\)大佬给出的方法是:平移对称轴
- 将直线\(y=x+1\)、点\((n,m)\)全部向下移动一个单位,就变成了一条直线\(y=x\)和点\((n,m-1)\)
- 求\((n,m-1)\)关于直线\(y=x\)的对称点就是\((m-1,n)\)
- 再将直线和点全部上移回去,就得到\((m-1,n+1)\)
因此,答案: \(\LARGE \displaystyle C_{m+n}^n-C_{m+n}^{m-1}\)
本题需要使用到高精度求解,如果递推的话计算量为\(10000^2=1×10^8\),再加上高精度计算会超时,因此这里求解阶乘的方式然后带入公式求组合数,类似于AcWing 888. 求组合数 IV。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//运行时间:78 ms
const int N = 100010;
int a[N], b[N]; //两个整数数组保存高精度计算的结果
//问题1:本题是用静态数组计算的高精度,而不是用的基础课中教的vector办法,性能更好。但问题是,这样还可以压位吗?
//问题2:既然可以用静态数组来计算卡特兰数+高精度,那么,基础课的那道01序列的题,是不是也应该可以使用静态数组+高精度来实现?
//欧拉筛
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n) {
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (!st[i]) primes[cnt++] = i;
for (int j = 0; primes[j] * i <= n; j++) {
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
//计算n!中包含质数p的个数
int get(int n, int p) {
int s = 0;
while (n) s += n / p, n /= p;
return s;
}
//高精度乘低精度
void mul(int a[], int b, int &len) {
int t = 0;
for (int i = 1; i <= len; i++) {
t += a[i] * b;
a[i] = t % 10;
t /= 10;
}
while (t) {
a[++len] = t % 10;
t /= 10;
}
}
//高精减高精
void sub(int a[], int b[], int &len) {
for (int i = 1, t = 0; i <= len; i++) {
a[i] -= t + b[i];
if (a[i] < 0)
a[i] += 10, t = 1;
else
t = 0;
}
while (len > 1 && !a[len]) len--;
}
// C(a,b)的结果,高精度保存到c数组,同时,返回c数组的长度len
int C(int a, int b, int c[]) {
//高精度的基底,乘法的基数是1
c[1] = 1;
int len = 1; //由于高精度数组中只有一位,是1,所以长度也是1
for (int i = 0; i < cnt; i++) { //枚举区间内所有质数
int p = primes[i];
/*
C(a,b)=a!/(b! * (a-b)!)
a!中有多少个质数因子p
减去(a-b)!的多少个质数因子p,
再减去b!的质数因子p的个数,就是总个数
s记录了p这个质数因子出现的次数
*/
int s = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
while (s--) mul(c, p, len); // 不断的乘p,结果保存到数组c中。len将带回c的有效长度
}
return len; //返回结果数组c的数位长度
}
int main() {
//加快读入
ios::sync_with_stdio(false);
//筛质数
get_primes(N - 1);
int n, m;
cin >> n >> m;
int al = C(n + m, m, a); // C(n+m,m),将高精度结果记录到a数组中,返回数组有效长度al
int bl = C(n + m, n + 1, b); // C(n+m,n+1),将高精度结果记录到b数组中
sub(a, b, al); //计算a-b的高精度减法
//输出结果,注意是倒序
for (int i = al; i >= 1; i--) printf("%d", a[i]);
return 0;
}