AcWing 1309. 车的放置

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算法分析

规则后的图形

题目给定的图片是不规则图形，我们可以将它分解成若干个规则图形，因为规则图形可以通过公式直接计算出来，如上图所示，对于某个规则的矩形，长度是a，宽度是b，放k辆车（k <= b <= a），在长度是a行中任选k行进行摆放，共有b列，第一辆车有b种摆放方案，第二辆车有b - 1中摆放方案…，第k辆车有b - k + 1种摆放方案，因此一共有\(\displaystyle C_a^kP_b^k\)种摆放方案

您是对\(C_b^iP_a^i\)中的\(P_a^i\)有疑问吗，最开始我认为\(P_a^i\)应该是\(C_a^i\)，后来发现想错的点是因为我认为是从a列里面随便选i列即可，不需要顺序，所以是\(C_a^i\),但是在每一列里面，车究竟在哪一行，是没有考虑到的，所以我们应该在选好了用哪些行以后，针对每一行来看安排在哪一列，若矩阵是\(3*4\)的，我们选择了第一行和第二行，然后我们需要在第一行选择一列，有四种选择，在第二行，有三种选择，所以是\(P_4^2\).也就是说\((1,3),(2,4)与(1,4),(2,3)\)是不同的选择

分解图形（按照红线位置划分成两个矩形）

上半部分摆放i辆车，有\(\displaystyle C_b^iP_a^i\)种摆放方案

下半部分摆放k - i辆车，由于上半部分摆放了i辆车，占用的列对下半部分选择有了一定的影响，即占用的列对于下半部分是不可使用的，因此从d行中选k - i行，有a + c - i列可以进行摆放并摆放k - i辆车，因此有 \(C_d^{k-i}P_{a+c-i}^{k-i}\) 种摆放方案

由于上半部分的摆放情况 和 下半部分的摆放情况是相互独立的，因此可以使用乘法原理，上半部分摆放i辆车，整张图的摆放方案是

\[\large C_b^{i}P_a^iC_d^{k-i}P_{a+c-i}^{k-i} \]

时间复杂度 \(O(Nlogmod)\)
\(N = 2000\)，\(mod = 100003\)

实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 2010, mod = 100003; //因为式子中出现a+c，所以N要开两倍

int fact[N], infact[N]; //阶乘与阶乘的逆元
//快速幂模板
int qmi(int a, int k, int p) {
    int res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        a = (LL)a * a % p;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

//组合数
int C(int a, int b) {
    if (a < b) return 0;
    // C(a,b)=a!/(a-b)! % mod
    return (LL)fact[a] * infact[a - b] % mod * infact[b] % mod;
}

//排列数
int P(int a, int b) {
    if (a < b) return 0;
    // P(a,b)=a!/(a-b)!
    return (LL)fact[a] * infact[a - b] % mod;
}

int main() {
    //组合数公式II
    //预处理出阶乘和阶乘的逆元
    fact[0] = infact[0] = 1; // 0的阶乘是1,这是人为的规定。 1/1也是1，infact[0]也是1
    for (int i = 1; i < N; i++) {
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;                        //阶乘
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod; //因为100003是质数，可以用费马小定理求出阶乘的逆元
    }

    int a, b, c, d, k;
    cin >> a >> b >> c >> d >> k;

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= k; i++) //在上面的矩阵中，放i个，但要注意C(a,b),P(a,b)中a>=b,这里处理的也非常巧妙，
                                 //没有在计算时进行特判，而是在实现C函数、P函数时进行了特判，if(a<b) return 0;
        res = (res + (LL)C(b, i) * P(a, i) % mod * C(d, k - i) % mod * P(a + c - i, k - i)) % mod;

    cout << res << endl;
    return 0;
}