AcWing 222 青蛙的约会

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一、不定方程推导

\(a\):青蛙\(a\)的起点
\(b\):青蛙\(b\)的起点

\(m\):青蛙\(a\)一次能跳多远
\(n\):青蛙\(b\)一次能跳多远

\(L\):一圈的距离

\((b-a)\):\(a\)要追\(b\)多少米(这个数可能是正的，也可能是负的。正的表示\(b\)在\(a\)前面；如果是负的表示\(b\)在\(a\)后面)
\((m-n)\):每跳一次，\(a\)能追\(b\)多少米

\(x\)是总共跳了多少次

\(y\)是\(a\)追\(b\)不一定会在一圈内追完，而是追了\(y\)圈

\[(m - n)*x = b - a + y*L \]

\[\Rightarrow \]

\[(m - n)*x - y*L = b - a \]

\((m-n)\):常数, \(L\):常数, \(b-a\):常数,变量：\(x,y\)

二、是否有整数解

如果想要有整数解，那么需要满足裴蜀定理： \(gcd(m-n,-L) | b-a\) ，否则无解

三、最小正整数解求解过程

1 、求\(ax+by=gcd(a,b)\)的一组特解

利用扩展欧几里得，计算出 \(ax+by=gcd(a,b)\)的一组特解 \(x_0,y_0\)。

2、求\(ax+by=c\)的一组特解

我们要求的方程通用形式是 \(ax+by=c\),并不是 \(ax+by=gcd(a,b)\),但满足 \(gcd(a,b) |c\)
也就是 \(c\) 肯定是 \(gcd(a,b)\)的整数倍。可以直接在 \(ax_0+by_0=gcd(a,b)\)这个等式的两端，同时乘以 \(t=c/gcd(a,b)\)
得到： \(ax_0 * t + by_0 * t =c\)
换句话说， \(x_0*t\)与 \(y_0*t\)就是方程 \(ax+by=c\) 的一组特解！
此时 \(x_1= x_0 * c /gcd(a,b) \ \ \ \ y_1= y_0 * c /gcd(a,b)\)

3、求\(ax+by=c\)的通解

这个\(x_1,y_1\)只是方程\(ax+by=c\)的一组特解，不一定是最小正整数解，也可能是负的，也可能很大的正数，需要通过通解公式，
计算出最小的正整数解：

通解公式： $$x= x_1+ k(b/d)$$ $$y=y_1-k(a/d)$$,其中\((b/d)\)可以理解为 最小缩放单元 。
为了防止出现负数，一般采用类似下面的取绝对值办法，整理为正整数单元。

 LL t = abs(b / d);

在当前题目中就是： \(x = x1+ k(-L/d)\) 其中\(k\)是任意整数

现在 \(x1,L/d\)都是已知的常数，\(k\)可以变化 ，求\(x\)的最小正整数解是多少。

\(x\)其实本质是就是通过 \(x_1\)在扩大、缩小 \(L/d\) \(k\)倍得到，
比如\(k=1\),扩大 \(x=x_1+ L/d\)；
比如\(k=2\) 扩大 \(x=x_1+ 2*(L/d)\)

当然，也可以缩小
比如\(k=-1\) 缩小 \(x=x_1-(L/d)\)
比如\(k=-2\) 缩小 \(x=x_1-2*(L/d)\)

不管怎么样，都最后要满足\(x\)是最小的正整数。

我们通过循环变化, 就可以得到\(x\)的最小正整数解：

  //方法II：循环尝试法
  LL ans = x1 % t;
  while (ans <= 0) ans += t;
  cout << ans << endl;

当然，也可以直接使用证明过的公式来计算：

  cout << (x % t + t) % t << endl; //求最少跳几次后碰面

四、实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    LL a, b, m, n, L;
    cin >> a >> b >> m >> n >> L;

    LL x, y;
    LL d = exgcd(m - n, -L, x, y);
    if ((b - a) % d)
        puts("Impossible");
    else {
        x *= (b - a) / d;
        LL t = abs(L / d);
        //求最小正整数解
        //方法I：公式法
        cout << (x % t + t) % t << endl; //求最少跳几次后碰面

        //方法II：循环尝试法
        // LL ans = x1 % t;
        // while (ans <= 0) ans += t;
        // cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}

五、实现代码II

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if (!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}

int main() {
    LL a, b, m, n, L;
    cin >> a >> b >> m >> n >> L;

    //让快的追慢的，如果不是的话，掉过来~,这样做后，可以保证m-n>0,最大公约数是正数d>0
    if (m < n) swap(m, n), swap(a, b);

    LL x, y;
    LL d = exgcd(m - n, L, x, y);
    if ((b - a) % d)
        puts("Impossible");
    else {
        x *= (b - a) / d;
        LL t = L / d;
        //求最小正整数解
        //方法I：公式法
        cout << (x % t + t) % t << endl; //求最少跳几次后碰面

        //方法II：循环尝试法
        // LL ans = x1 % t;
        // while (ans <= 0) ans += t;
        // cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}