P4549 【模板】裴蜀定理

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裴蜀定理(贝祖定理)

定理
\(ax+by=c,x∈Z^+,y∈Z^+\)成立的充要条件是\(gcd(a,b)|c\)。

证明

• 充分性
  设\(s=gcd(a,b)\)，显然\(s|a\)，并且\(s|b\)
  因为\(x,y∈Z^+\)
  所以\(s|ax,s|by\)
  显然要使得之前的式子成立，则必须满足\(c\)是\(a\)和\(b\)的公约数的倍数。

• 必要性
  又因为\(x\)和\(y\)是正整数
  所以\(c\)必然是\(a,b\)最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立

说明
该定理完全可以推广到若干数的线性组合

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//最大公约数，辗转相除法
int gcd(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int d = 0, a;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a);
        d = gcd(d, abs(a)); //负数没法求最大公约数，这里认为系数都是正数，让变量x,y吃进去这个负号
    }
    printf("%d", d);
    return 0;
}