\(AcWing\) \(376\). 机器任务
一、题目描述
有两台机器 \(A\)，\(B\) 以及 \(K\) 个任务。
机器 \(A\) 有 \(N\) 种不同的模式（模式 \(0\)∼\(N−1\)），机器 \(B\) 有 \(M\) 种不同的模式（模式 \(0\)∼\(M−1\)）。
两台机器最开始都处于模式 \(0\)。
每个任务既可以在 \(A\) 上执行，也可以在 \(B\) 上执行。
对于每个任务 \(i\)，给定两个整数 \(a[i]\) 和 \(b[i]\)，表示如果该任务在 \(A\) 上执行，需要设置模式为 \(a[i]\)，如果在 \(B\) 上执行，需要模式为 \(b[i]\)。
任务可以以任意顺序被执行，但每台机器转换一次模式就要重启一次。
求怎样分配任务并合理安排顺序，能使机器重启次数最少。
输入格式
输入包含多组测试数据。
每组数据第一行包含三个整数 \(N,M,K\)。
接下来 \(K\) 行，每行三个整数 \(i,a[i]\) 和 \(b[i]\)，\(i\) 为任务编号，从 \(0\) 开始。
当输入一行为 \(0\) 时，表示输入终止。
输出格式
每组数据输出一个整数，表示所需的机器最少重启次数，每个结果占一行。
数据范围
\(N,M<100,K<1000\)
\(0≤a[i]<N\)
\(0≤b[i]<M\)
输入样例：
5 5 10
0 1 1
1 1 2
2 1 3
3 1 4
4 2 1
5 2 2
6 2 3
7 2 4
8 3 3
9 4 3
0
输出样例：
3
二、题目解析
黄海解读：这题啥意思呢？没看懂，没办法，研究一下测试用例，瞬时明白：
\(A\)机开\(1,2\)模式,\(B\)机开\(3\)模式，就可以处理完所有任务！！
\(A\)机需要\(0->1->2\)共两次，\(B\)机需要\(0->3\)共一次，合计\(3\)次！
总结：
- 看不懂题意需要结合测试用例理解
- \(0\)模式比较特殊，因为它本身出发就在\(0\)模式，不用切换，如果给出的数据为模式\(0\)的可以不用考虑，不会对结果产生影响
- 数据范围不大\(<=100\)时，邻接矩阵比较方便，可以很灵活的使用，联系上一题棋盘覆盖问题，也一样是邻接矩阵方式。邻接矩阵+匈牙利算法 是一个常见的组合，要注意，不要刻意追求邻接表方式。
「最小点覆盖」：给出一个图，从中选出最少的点，使得每一条边的两个点里面至少有一个点是被选出来的。
在「二分图中」，最小点覆盖有一个结论：「最小点覆盖数量==最大匹配数量」。
首先，题目中给出两个机器都从模式\(0\)开始，并且任务不必按照顺序执行，所以我们可以先把所有使用模式\(0\)执行的任务先全部完成（避免切换模式），所以剩下的任务都是大于\(0\)的。
因此问题就变成了在\(N+M-2\)
（其中\(N\)和\(M\)是两种机器的模式数量）种模式中，最少选出多少个模式可以把所有剩余的任务完成。
如果我们「把\(a[i]\)和\(b[i]\)看成\(a[i]\)连向\(b[i]\)的一条有向边」，那么「完成任务\(i\)」就相当于是「在这条边上选择出一个点」。 如此，我们就把问题转换成了，在这个「二分图中」选择出最少的点，把所有的边覆盖到，也就是「最小点覆盖问题」，那么「二分图中的最小点覆盖问题 就等价于 最大匹配数量」，因此我们直接「使用匈牙利算法求出最大匹配数量」就是本题的答案。
三、实现代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, m; // A机器n种模式,B机器m种模式
int k; // k个任务
int match[N];
int g[N][N], st[N];
//匈牙利算法+邻接矩阵
bool find(int x) {
for (int i = 0; i < m; i++) //枚举右部所有点
if (!st[i] && g[x][i]) {
st[i] = true;
if (match[i] == -1 || find(match[i])) {
match[i] = x;
return true;
}
}
return false;
}
int main() {
while (scanf("%d", &n), n) {
scanf("%d %d", &m, &k);
memset(g, 0, sizeof g); //邻接矩阵
memset(match, -1, sizeof match); //因为本题中模式是0 ~ n-1，所以避开0,初始化-1
//建图
while (k--) {
int t, a, b; //任务编号,在A机器中a模式执行，在B机器中b模式执行
scanf("%d %d %d", &t, &a, &b);
if (!a || !b) continue; //因为初始时就是0状态，不需要切换，如果是可以在状态0执行的，上来就整就可以了
g[a][b] = 1; // ab之间连一条边，要么在a模式中执行，要么在b模式中执行，最小点覆盖
}
//最小点覆盖 等于 最大匹配数
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) { //枚举左部每个点
memset(st, 0, sizeof st);
if (find(i)) res++;
}
//输出
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}
四、邻接表实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2 * 110, M = 1010;
int n, m, k;
bool g[N][N];
int match[N];
bool st[N];
//链式前向星
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c = 0) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
//匈牙利算法模板
bool find(int x) {
for (int i = h[x]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
if (!st[j]) {
st[j] = true;
if (!match[j] || find(match[j])) {
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main() {
while (scanf("%d", &n), n) {
scanf("%d %d", &m, &k);
memset(g, 0, sizeof g);
memset(match, 0, sizeof match);
memset(h, -1, sizeof h);
idx = 0;
while (k--) {
int t, a, b;
scanf("%d %d %d", &t, &a, &b);
if (!a || !b) continue;
add(a, b);//此边是一个任务
}
int res = 0;
for (int i = 1; i < n; i++) {
memset(st, 0, sizeof st);
if (find(i)) res++;
}
printf("%d\n", res);
}
return 0;
}