AcWing 368. 银河

\(AcWing\) \(368\). 银河

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一、题目描述

银河中的恒星浩如烟海，但是我们只关注那些 最亮的恒星。

我们用一个正整数来表示恒星的亮度，数值越大则恒星就越亮，恒星的亮度最暗是 \(1\)。

现在对于 \(N\) 颗我们关注的恒星，有 \(M\) 对亮度之间的相对关系已经判明。

你的任务就是求出这 \(N\) 颗恒星的 亮度值总和至少有多大。

输入格式
第一行给出两个整数 \(N\) 和 \(M\)。

之后 \(M\) 行，每行三个整数 \(T,A,B\)，表示一对恒星 \((A,B)\) 之间的亮度关系。恒星的编号从 \(1\) 开始。

如果 \(T=1\)，说明 \(A\) 和 \(B\) 亮度相等。
如果 \(T=2\)，说明 \(A\) 的亮度小于 \(B\) 的亮度。
如果 \(T=3\)，说明 \(A\) 的亮度不小于 \(B\) 的亮度。
如果 \(T=4\)，说明 \(A\) 的亮度大于 \(B\) 的亮度。
如果 \(T=5\)，说明 \(A\) 的亮度不大于 \(B\) 的亮度。

输出格式
输出一个整数表示结果。

若无解，则输出 \(−1\)。

二、差分约束解法

\(N\) 颗恒星的亮度值总和至少有多大

求最小->求所有下界的最大->最长路 √

求最大->求所有上界的最小->最短路 ×

最长路
\(dist[j] ≥ dist[t] + w[i]\)

\(T=1: A=B => A≥B\) \(B≥A\)
\(T=2: A<B => B≥A+1\)
\(T=3: A≥B => A≥B\)
\(T=4: A>B => A≥B+1\)
\(T=5: A≤B => B≥A\)

\(spfa\)最长路 - 做完后每个点的距离就是最小值

• 边是正的 - 存在正环 => 无解
• 有解
  必须有绝对值
  超级源点(能到所有边)
  \(x[i]≥x[0]+1\)

差分约束代码

通过了 10/11个数据

本题数据范围
\(N≤100000,M≤100000\)

和 糖果 那道题一样一样的数据范围，肯定是测试数据进行了加强，导致卡掉了\(spfa\),无论你是\(stack\)优化，\(slf\)优化，还是双端队列优化，还是什么\(dfs\)优化，一概无效，真是醉了，就为了让我学习\(tarjan+SCC+DAG\)值得这么费劲吗？我学不就完了吗？？

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 300010;
//与AcWing 1169. 糖果 这道题一模一样，连测试用例都一样

stack<int> q; //有时候换成栈判断环很快就能
LL dist[N];
bool st[N];
int cnt[N];
int n, m; //表示点数和边数
//邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

bool spfa() {                         //求最长路，所以判断正环
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist); //初始化为-0x3f
    //差分约束从超级源点出发
    dist[0] = 0;
    q.push(0);
    st[0] = true;

    while (q.size()) {
        int u = q.top();
        q.pop();
        st[u] = false;
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[u] + w[i]) { //求最长路
                dist[j] = dist[u] + w[i];
                cnt[j] = cnt[u] + 1;
                //注意多加了超级源点到各各节点的边
                if (cnt[j] >= n + 1) return false;
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int op, a, b; // op为选择
        scanf("%d %d %d", &op, &a, &b);
        if (op == 1) /** a == b  =>  (a >= b , b >= a)  */
            add(a, b, 0), add(b, a, 0);
        else if (op == 2) /**  b >= a + 1         */
            add(a, b, 1);
        else if (op == 3) /**  a >= b         */
            add(b, a, 0);
        else if (op == 4) /**  a >= b + 1        */
            add(b, a, 1);
        else /** b >= a   */
            add(a, b, 0);
    }

    /** xi >= x0 + 1 （每个小朋友都要至少一个糖果）*/
    //将所有节点与超级源点x0相连
    for (int i = 1; i <= n; ++i) add(0, i, 1);

    if (!spfa())
        puts("-1");
    else {
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) res += dist[i];
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}

三、强连通分量思路

分析
用差分约束可能被卡，用 \(SCC\) 稳定线性，但并非所有差分约束都能通过 \(SCC\) 解决。本题条件：

• 无负权边
• 问是否存在正环
• 问每个点到其它点的最长距离

性质：

• 环一定在 \(SCC\) 中，在无负权边的前提下，若 \(SCC\) 中存在一条正权边，则必存在正环
• 若不存在正环，则 \(SCC\) 中每条边权都为 \(0\)，等价于每个点都相等
• 在 \(DAG\) 上求最长距离只需按拓扑序递推

强连通分量代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100010, M = 600010;

int n, m;
int h[N], hs[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int h[], int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int dfn[N], low[N], ts, stk[N], top, in_stk[N];
int id[N], scc_cnt, sz[N];
int dist[N];

// tarjan求scc
void tarjan(int u) {
    dfn[u] = low[u] = ++ts;
    stk[++top] = u;
    in_stk[u] = true;
    for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
        int j = e[i];
        if (!dfn[j]) {
            tarjan(j);
            low[u] = min(low[u], low[j]);
        } else if (in_stk[j])
            low[u] = min(low[u], dfn[j]);
    }
    if (dfn[u] == low[u]) {
        ++scc_cnt;
        int x;
        do {
            x = stk[top--];
            in_stk[x] = false;
            id[x] = scc_cnt;
            sz[scc_cnt]++;
        } while (x != u);
    }
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);

    memset(h, -1, sizeof h);
    memset(hs, -1, sizeof hs);

    // 0号超级源点
    //∵ 恒星的亮度最暗是 1
    //∴ 0 ~ i 有一条边权为1的边
    for (int i = 1; i <= n; i++) add(h, 0, i, 1);

    //求最小->求所有下界的最大->最长路 √
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int t, a, b;
        scanf("%d %d %d", &t, &a, &b);
        if (t == 1) // a=b
            add(h, b, a, 0), add(h, a, b, 0);
        else if (t == 2) // a < b --> b>=a+1
            add(h, a, b, 1);
        else if (t == 3) // a>=b+0
            add(h, b, a, 0);
        else if (t == 4) // a>=b+1
            add(h, b, a, 1);
        else
            add(h, a, b, 0); // b>=a+0
    }
    //强连通分量+缩点
    tarjan(0);

    bool flag = true;              //是不是不存在正环
    for (int u = 0; u <= n; u++) { //添加上超级源点，就是n+1个点
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            int a = id[u], b = id[j];
            if (a == b) {
                if (w[i] > 0) {   //在同一个强连通分量中，存在边权大于0的边
                    flag = false; //必然有正环
                    break;
                }
            } else
                add(hs, a, b, w[i]); //建新图
        }
        if (!flag) break; //如果存在正环，退出
    }

    if (!flag) //有正环，输出-1
        puts("-1");
    else {
        for (int u = scc_cnt; u; u--) { //倒序输出拓扑序
            for (int i = hs[u]; ~i; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                dist[j] = max(dist[j], dist[u] + w[i]);
            }
        }
        //因为不存在正环，而且题目保证都是路径>=0,所以强连通分量中必然路径长度都是0
        //即是一样一样的东西
        LL res = 0;
        for (int i = 1; i <= scc_cnt; i++) res += (LL)dist[i] * sz[i];
        printf("%lld\n", res);
    }
    return 0;
}