AcWing 362. 区间

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本题同样考察差分约束，难点在于想到用类似前缀和的方法去求解。

题目中有两个地方可以想到需要使用前缀和，第一个地方是集合\(Z\)中在\([a_i,b_i]\)中的的\(x\)不少于\(c_i\)个:
要求一个集合在若干个区间中数的个数，最快的方法就是使用前缀和

另一个是只要求集合在给定区间中数的个数不小于\(c\)，但是这些数的选取并不是唯一的，所以\(Z\)中具体数的值并不重要，只需要知道在每个区间内\(Z\)中元素的个数是多少，这里也暗示了使用前缀和。

类前缀和

设\(s[i]\)表示集合\(Z\)中有\(s[i]\)个元素是在\(1\)到\(i\)之间的，则在区间\([a,b]\)中就存在\(s[b]\) - \(s[a - 1]\)个集合中的元素。

下面将题目条件转化为差分约束的条件，首先是前缀和中默认的条件：$$s(i) >= s(i - 1) \ \ ①$$
即：

s(i) >= s(i-1) + 0

另外第\(i\)个元素要么在集合中要么不在，这意味着\(s(i)\)至多比\(s(i - 1)\)多\(1\)，所以有$$s(i-1) >= s(i) - 1 \ \ ②$$
即：

s(i-1)>= s(i) - 1

最后需要加上题目中的约束条件，在\(a\)到\(b\)区间中出现的个数不少于\(c\)个，即$$s(b) - s(a - 1) >= c\ \ ③$$
即：

s(b) >= s(a-1) + c

需要注意的是\(a\)和\(b\)的范围是从\(0\)开始的，为了在区间左端点等于\(0\)时使用前缀和数组不发生越界，需要将所有的区间均右移一个单位。最多有\(50000\)左右个点，上面的三类约束条件都可能出现\(50000\)来次，所以最多有\(150000\)左右条边。要想求集合中至少包含多少个数，只需要求\(s[50001]\)的最小值即可（这里向右偏移了\(1\)个单位，所以是\(50001\)），求不等式组解的最小值自然是求最长路了。建图时虚拟源点\(0\)到\(1\),\(1\)到\(2\)，...都是有连边的，所以所有的点都是可达的。集合\(Z\)中最坏情况是包含了\(50000\)以内所有的点，所以一定是有解的。最后补充一句，这里的前缀和\(s[i]\)在\(spfa\)算法中也就是距离数组\(d\)。总的代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
//这里也可以把[a,b]区间往右移动一个单位，
//这样就可以空出来S[0]这个点，作为超级原点
const int N = 50010, M = 150010;

int dist[N];
int m; // m个区间，可以理解为m条边
bool st[N];
//邻接表
int e[M], h[N], idx, w[M], ne[M];
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}

void spfa() {
    queue<int> q;
    //求最大路径长度
    memset(dist, -0x3f, sizeof dist);
    dist[0] = 0;
    st[0] = true;
    q.push(0);

    while (q.size()) {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] < dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    //初始化差分约束的图
    for (int i = 1; i < N; i++)
        // s(n):集合从[1,n]中选择整数的个数
        // 这两个不等式关系是人想出来的吗？太BT了~
        // s(i)  >= s(i-1) + 0
        // s(i-1)>= s(i) - 1
        add(i - 1, i, 0), add(i, i - 1, -1);

    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b + 1, c); // s(b) >= s(a-1) + c
    }
    spfa();
    printf("%d\n", dist[50001]);
    return 0;
}