P1939 【模板】矩阵加速（数列）

\(P1939\) 【模板】矩阵加速（数列）

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一、题目描述

二、解题思路

• 从左到右，从小到大 【推荐写法】
  

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 4;
int n;
LL f[N][N], b[N][N];

void init() {
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[1][1] = f[1][2] = f[1][3] = 1;

    // base数组，原理见题解
    memset(b, 0, sizeof(b));
    b[1][3] = b[2][1] = b[3][2] = b[3][3] = 1;
}

//矩阵乘法
void mul(LL C[][N], LL A[][N], LL B[][N]) {
    LL t[N][N] = {0};
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            for (int k = 1; k < N; k++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (A[i][k] * B[k][j] % MOD)) % MOD;
    memcpy(C, t, sizeof t);
}
//快速幂
void qmi(int k) {
    while (k) {
        if (k & 1) mul(f, f, b);
        mul(b, b, b);
        k >>= 1;
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        if (n <= 3) {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        init();
        qmi(n - 1);
        printf("%lld\n", f[1][1]);
    }
}

\(Q:\)为什么是\(n-1\)次幂？

\(A:\)从小到大的初始矩阵，最初时，第一行第一列是\(f(1)\),它乘上一个\(base\)可以到达\(f(2)\),那么，需要到达\(f(n)\),当然是乘上\(n-1\)个\(base\)矩阵了。

• 从左到右，从大到小
  

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD = 1e9 + 7;
const int N = 4;
int n;
LL f[N][N], b[N][N];

void init() {
    memset(f, 0, sizeof(f));
    f[1][1] = f[1][2] = f[1][3] = 1;

    memset(b, 0, sizeof(b));
    b[1][1] = b[1][2] = b[2][3] = b[3][1] = 1;
}

void mul(LL C[][N], LL A[][N], LL B[][N]) {
    LL t[N][N] = {0};
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            for (int k = 1; k < N; k++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (A[i][k] * B[k][j] % MOD)) % MOD;
    memcpy(C, t, sizeof t);
}
void qmi(int k) {
    while (k) {
        if (k & 1) mul(f, f, b);
        mul(b, b, b);
        k >>= 1;
    }
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        cin >> n;
        if (n <= 3) {
            printf("1\n");
            continue;
        }
        init();
        qmi(n - 3);
        printf("%lld\n", f[1][1]);
    }
}

\(Q:\)为什么是\(n-3\)次幂？

\(A:\)从大到小的初始矩阵，最初时，第一行第一列是\(f(3)\),它乘上一个\(base\)可以到达\(f(4)\),那么，需要到达\(f(n)\),当然是乘上\(n-3\)个\(base\)矩阵了。

三、疑问与解答

\(Q1\):为什么我看到有人写的时候用的是一维的\(f\)数组，你是用的二维？有什么区别？

\(A\):其实真正有用的确定是一维，我这里用的二维是因为我懒：矩阵快速幂的模板有多套，我自己整理了一个我喜欢的样式

void mul(LL C[][N], LL A[][N], LL B[][N]) {
    LL t[N][N] = {0};
    for (int i = 1; i < N; i++)
        for (int j = 1; j < N; j++)
            for (int k = 1; k < N; k++)
                t[i][j] = (t[i][j] + (A[i][k] * B[k][j] % MOD)) % MOD;
    memcpy(C, t, sizeof t);
}
void qmi(int k) {
    while (k) {
        if (k & 1) mul(f, f, b);
        mul(b, b, b);
        k >>= 1;
    }
}

网上网友提供的模板：

• 通过函数重载写成两个\(mul\)函数的，一个用于计算\(A \times B\)，然后结果保存到\(A\)中，另一个用于计算\(A \times A\),结果保存到\(A\)中，还特别支持了一维数组传入，这样背模板就太麻烦了，我不喜欢。
• 通过声明一个结构体，重载乘法运算符，太繁琐，我也不喜欢。

我的这个模板具有如下优点：

• 支持二维相同，不同，矩阵相乘，结果可以保存回原数组，也可以赋值新数组
• 代码简洁
• 一维的矩阵，可以通过构造二维的方法传入，一样可以解决。

四、遗留问题

矩阵快速幂——从入门到放弃(看这一篇就够了)
https://www.codetd.com/article/12024444