\(AcWing\) \(903\). 昂贵的聘礼
一、题目描述
年轻的探险家来到了一个印第安部落里。
在那里他和酋长的女儿相爱了，于是便向酋长去求亲。
酋长要他用 \(10000\) 个金币作为聘礼才答应把女儿嫁给他。
探险家拿不出这么多金币，便请求酋长降低要求。
酋长说：嗯，如果你能够替我弄到大祭司的皮袄，我可以只要 \(8000\) 金币。如果你能够弄来他的水晶球，那么只要 \(5000\) 金币就行了。
探险家就跑到大祭司那里，向他要求皮袄或水晶球，大祭司要他用金币来换，或者替他弄来其他的东西，他可以降低价格。
探险家于是又跑到其他地方，其他人也提出了类似的要求，或者直接用金币换，或者找到其他东西就可以降低价格。
不过探险家没必要用多样东西去换一样东西，因为不会得到更低的价格。
探险家现在很需要你的帮忙，让他 用最少的金币娶到自己的心上人。
另外他要告诉你的是，在这个部落里，等级观念十分森严。
地位差距超过一定限制的两个人之间不会进行任何形式的直接接触，包括交易。
他是一个外来人，所以可以不受这些限制。
但是如果他和某个地位较低的人进行了交易，地位较高的的人不会再和他交易，他们认为这样等于是间接接触，反过来也一样。
因此你需要在考虑所有的情况以后给他提供一个最好的方案。
为了方便起见，我们把所有的物品从 \(1\) 开始进行编号，酋长的允诺也看作一个物品，并且编号总是 \(1\)。
每个物品都有对应的价格 \(P\)，主人的地位等级 \(L\)，以及一系列的替代品 \(T_i\) 和该替代品所对应的 优惠 \(V_i\)。
如果两人地位等级差距超过了 \(M\)，就不能 间接交易。
你必须根据这些数据来计算出探险家 最少需要多少金币才能娶到酋长的女儿。
输入格式
输入第一行是两个整数 \(M，N\)，依次表示地位 等级差距限制 和 物品的总数。
接下来按照编号从小到大依次给出了 \(N\) 个物品的描述。
每个物品的描述开头是三个非负整数 \(P、L、X\)，依次表示该物品的 价格、主人的 地位等级 和 替代品总数。
接下来 \(X\) 行每行包括两个整数 \(T\) 和 \(V\)，分别表示 替代品的编号 和 优惠价格。
输出格式
输出最少需要的金币数。
二、题目解析
难点 在于如何建图以及如何处理等级限制:
建图方式
我们可以选取一个 超级源点 :
- 每个点 \(i\) 的价格 相当于 从点\(0\)到点 \(i\) 连一条边, 边权 定义为点\(i\)的价格
- 每个点 \(i\) 有多个可替代点: 从可替代点 到点\(i\) 连一条边
- 结果:顶点 \(0\) 到 顶点 \(1\) 的 最短路
//测试用例解释
1 4 //地位等级差距限制 和 物品的总数
10000 3 2 //0 -> 1，路径长度 = 10000、1号地位等级=3 替代品总数=2
2 8000 //2 -> 1 路径长度 = 8000
3 5000 //3 -> 1 路径长度 = 5000
1000 2 1 //0 -> 2，路径长度 = 1000、2号地位等级=2 替代品总数=1
4 200 //4 -> 2 路径长度 = 200
3000 2 1 //0 -> 3，路径长度 = 3000、3号地位等级=2 替代品总数=1
4 200 //4 -> 3 路径长度 = 200
50 2 0 //0 -> 4，路径长度 = 50 、4号地位等级=2 替代品总数=0
等级限制
-
酋长的女儿肯定是要娶到手的，最后所有的最短路都会汇集在 \(1\) 号点，也就是说 \(1\) 号点是所有最短路中都存在的点
-
假设 \(1\)号点等级为 \(L_1\)，则所有最短路的点都必须满足在 \([L_1-M,L_1+M]\) 范围内
-
如果只是将\([L_1-M,L_1+M]\) 这个区间作为最后的区间，会存在两个点的等级差超过了 \(M\) 值，不符合题意，所以，这个区间还要继续缩小
我们可以依次枚举区间 \([L_1-M,L_1],[L_1-M+1,L_1+1],[L_1-M+2,L_1+2]...[L_1,L_1+M]\)，这些小区间内的任意两个点的等级都不会超过 \(M\) 值，并且同时保证了 \(1\) 号点肯定在区间内。
因此，依次求出每个小区间的最短路，最后再取最小值就是答案
三、\(Dijkstra\)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
const int M = N * N; //边数最多有n^2,这是顶天设置，此处与传统的题目不，一般的M= N<<1，此题目没有明确给出边数上限，直接认为N^2
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int dist[N]; //单源最短路径
bool st[N]; //配合Dijkstra用的是否出队过
int L[N]; //每个节点的等级
int n, m; // n个物品，m表示等级差距限制
int dijkstra(int l, int r) {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
memset(st, 0, sizeof st);
priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
//距离，节点号
q.push({0, 0});
dist[0] = 0;
while (q.size()) {
auto t = q.top();
q.pop();
int u = t.second;
if (st[u]) continue;
st[u] = true;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
//枚举边时，只处理等级在指定范围内
if (L[j] < l || L[j] > r) continue;
if (dist[j] > dist[u] + w[i]) {
dist[j] = dist[u] + w[i];
q.push({dist[j], j});
}
}
}
return dist[1];
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h); //初始化邻接表
scanf("%d %d", &m, &n); // m:表示地位等级差距限制，n:物品的总数
for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个节点
int p, l, x; //价格 等级 替代品数目
scanf("%d%d%d", &p, &l, &x);
L[i] = l; //记录等级.后面枚举等级区间时会用到
add(0, i, p); //虚拟源点0 0->i号物品,价格=p,描述：从啥也没有，到获取i号物品，需要投入p这么多的金币
for (int j = 1; j <= x; j++) { //读入所有替代品
int u, v; //替代品的编号 和 优惠价格
scanf("%d%d", &u, &v); // u:大祭祀的水晶球，你怎么拿到大祭祀的水晶球我不管(0~u不管),如果你有了大祭祀的水晶球，那么酋长只收取v的金币,(u~1)=v
add(u, i, v); //这个建图挺考验人的
}
}
//预求最小，先设最大
int res = INF;
//重点：枚举每个可行的区间，重复可以，但绝不能遗漏，最后取小值，重复无所谓
//比如 L[1]=100,M=10,则100-10<=可以使用的级别<=100+10
//此处是枚举的可行级别的左边界i，右边界是计算得到的=i+m
//一个长度为m的区间，左边界从L1-m开始，每次前进1个单位，最终左边界的终点是L1,当到达终点时，右边界已经到达了L1+m
// [L1-m,L1],[L1-m+1,L1+1],[L1-m+2,L1+2],...,[L1,L1+m] 右边界-左边界 = m
for (int i = L[1] - m; i <= L[1]; i++) res = min(res, dijkstra(i, i + m)); //枚举每个可以用的级别范围，多求几次，更新最小值
//输出结果
printf("%d\n", res);
return 0;
}
四、\(SPFA\)
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 110;
const int M = N * N; //边数最多有n^2,这是顶天设置，此处与传统的题目不，一般的M= N<<1，此题目没有明确给出边数上限，直接认为N^2
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], w[idx] = c, h[a] = idx++;
}
int dist[N]; //单源最短路径
bool st[N]; //配合Dijkstra用的是否出队过
int L[N]; //每个节点的等级
int n, m; // n个物品，m表示等级差距限制
int spfa(int l, int r) {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
memset(st, 0, sizeof st);
queue<int> q;
q.push(0);
dist[0] = 0;
while (q.size()) {
int u = q.front();
q.pop();
st[u] = false;
for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int j = e[i];
//在区间内的节点才可以进行计算
if (L[j] < l || L[j] > r) continue;
if (dist[j] > dist[u] + w[i]) {
dist[j] = dist[u] + w[i];
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
return dist[1];
}
int main() {
memset(h, -1, sizeof h); //初始化邻接表
scanf("%d %d", &m, &n); // m:表示地位等级差距限制，n:物品的总数
for (int i = 1; i <= n; i++) { //枚举每个节点
int p, l, x; //第i个物品 价格 等级 替代品数目
scanf("%d%d%d", &p, &l, &x);
L[i] = l; //记录等级
add(0, i, p); //虚拟源点0 0->i号物品,需要使用p这么多的钱
for (int j = 1; j <= x; j++) { //读入所有替代品
int u, v; //替代品的编号 和 优惠价格
scanf("%d%d", &u, &v); // u:大祭祀的水晶球，你怎么拿到大祭祀的水晶球我不管(0~u不管),如果你有了大祭祀的水晶球，那么酋长只收取v的金币,(u~1)=v
add(u, i, v);
}
}
//预求最小，先设最大
int res = INF;
//比如 L[1]=100,M=10,则100-10<=可以使用的级别<=100+10
//此处是枚举的可行级别的左边界i，右边界是计算得到的=i+m
//一个长度为m的区间，左边界从L1-m开始，每次前进1个单位，最终左边界的终点是L1,当到达终点时，右边界已经到达了L1+m
// [L1-m,L1],[L1-m+1,L1+1],[L1-m+2,L1+2],...,[L1,L1+m] 右边界-左边界 = m
for (int i = L[1] - m; i <= L[1]; i++) res = min(res, spfa(i, i + m)); //枚举每个可以用的级别范围，多求几次，更新最小值
//输出结果
printf("%d\n", res);
return 0;
}