AcWing 1127 香甜的黄油

\(AcWing\) \(1127\) 香甜的黄油

题目传送门

一、题目描述

农夫\(John\)发现了做出全威斯康辛州最甜的黄油的方法：糖。

把糖放在一片牧场上，他知道 \(N\) 只奶牛会过来舔它，这样就能做出能卖好价钱的超甜黄油。

当然，他将付出额外的费用在奶牛上。

农夫\(John\)很狡猾，就像以前的巴甫洛夫，他知道他可以训练这些奶牛，让它们在听到铃声时去一个特定的牧场。

他打算将糖放在那里然后下午发出铃声，以至他可以在晚上挤奶。

农夫\(John\)知道每只奶牛都在各自喜欢的牧场（一个牧场不一定只有一头牛）。

给出各头牛在的牧场和牧场间的路线，找出使 所有牛到达的路程和最短的牧场（他将把糖放在那）。

数据保证至少存在一个牧场和所有牛所在的牧场连通。

输入格式

第一行: 三个数：奶牛数 \(N\)，牧场数 \(P\)，牧场间道路数 \(C\)。

第二行到第 \(N+1\) 行: \(1\) 到 \(N\) 头奶牛所在的牧场号。

第 \(N+2\) 行到第 \(N+C+1\) 行：每行有三个数：相连的牧场\(A、B\)，两牧场间距 \(D\)，当然，连接是双向的。

输出格式
共一行，输出奶牛必须行走的最小的距离和。

二、算法分析

枚举所有点作为特定牧场，求特定牧场到所有点的最短距离

点的个数\(n= 800\)，边的个数\(m=1500\)

朴素版\(Dijkstra\) 复杂度是\(O(n^3)\) \(n^3=5.12∗10^8\) 垃圾中的战斗机，不用背代码了~

堆优化版\(dijkstra\) 复杂度是\(O(n\times m \times log_2n)\) = \(n \times m \times log_2n \approx 800 \times 1500 \times 10 = 1.2∗10^7\)

\(spfa\) 复杂度是\(O(nm)\) 平均是\(2\)到\(3\)倍即 \(3 \times n \times m\)=\(3.9∗10^6\)

\(spfa\)好强,时间复杂度 \(O(nm)\),最坏\(O(n^2m)\) 但这玩意太玄学，如果出题人故意卡你一下，就可能退化到\(O(n^2\times m)\)垃圾的要死，太不稳定。

一般用于求带负权边的最短路，全是正权边的还是用堆优化的\(Dijkstra\)吧:

三、\(Dijkstra+PII\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 810;  //牧场数 上限800
const int M = 3000; //牧场间道路数 上限1450，无向图开双倍
const int INF = 0x3f3f3f3f;
//链式前向星
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int n, p, m; //三个数：奶牛数 ，牧场数 ，牧场间道路数
int id[N];   //每只奶牛在哪个牧场
int d[N];    //记录起点到任意点的最短路径
int q[N];    //队列
bool st[N];  //标识每个牧场是否入过队列

int dijkstra(int S) {
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    d[S] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    q.push({0, S});

    while (q.size()) {
        PII t = q.top();
        q.pop();

        int u = t.second, dist = t.first;
        if (!st[u]) {
            st[u] = true;
            for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (d[j] > dist + w[i]) {
                    d[j] = dist + w[i];
                    q.push({d[j], j});
                }
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {   //遍历每只奶牛
        int j = id[i];               // j号牧场
        if (d[j] == INF) return INF; //如果j号牧场失联了，则无法获得结果
        res += d[j];                 //累加一个最小距离
    }
    return res; //整体的最小距离
}
int main() {
    //加快读入
    cin.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> p >> m;                        //奶牛数，牧场数，牧场间道路数
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> id[i]; // 1 到 N 头奶牛所在的牧场号

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    int ans = INF;

    //枚举每个牧场为出发点，计算它的最短距离和　中的最小值
    for (int i = 1; i <= p; i++) ans = min(ans, dijkstra(i));

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

四、\(Dijkstra+Struct\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 810;  //牧场数 上限800
const int M = 3000; //牧场间道路数 上限1450，无向图开双倍
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Node {
    int id;
    int dist;
    bool operator<(const Node &t) const {
        return dist > t.dist; //小顶堆
    }
};

//链式前向星
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int n, p, m; //三个数：奶牛数 ，牧场数 ，牧场间道路数
int id[N];   //每只奶牛在哪个牧场
int d[N];    //记录起点到任意点的最短路径
int q[N];    // spfa用到的队列
bool st[N];  //标识每个牧场是否入过队列

int dijkstra(int start) {
    //因为调用多次，需要每次初始化
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    d[start] = 0;
    priority_queue<Node> q;
    q.push({start, 0});

    while (q.size()) {
        auto t = q.top();
        q.pop();

        int u = t.id, dist = t.dist;
        if (!st[u]) {
            st[u] = true;
            for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
                int j = e[i];
                if (d[j] > dist + w[i]) {
                    d[j] = dist + w[i];
                    q.push({j, d[j]});
                }
            }
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int j = id[i];
        if (d[j] == INF) return INF;
        res += d[j];
    }
    return res;
}
int main() {
    //加快读入
    cin.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    //用来装图的链表头数组，只需初始化一次
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> p >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> id[i];
    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    int ans = INF;
    for (int i = 1; i <= p; i++) ans = min(ans, dijkstra(i));
    
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

五、\(SPFA\)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 810;  //牧场数 上限800
const int M = 3000; //牧场间道路数 上限1450，无向图开双倍
const int INF = 0x3f3f3f3f;
//链式前向星
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

int n, p, m; //三个数：奶牛数 ，牧场数 ，牧场间道路数
int id[N];   //每只奶牛在哪个牧场
int d[N];    //记录起点到任意点的最短路径
int q[N];    // spfa用到的队列
bool st[N];  //标识每个牧场是否入过队列
/*
该算法常用于求含负权图的单源最短路，是Bellman_ford算法的优化版。
如果a点到终点途中经过b点，那么只有dist[a]更新变小后，dist[b]更新之后才有可能变小。
所以spfa算法相较于Bellman-ford算法优化的点就是：只有x的邻点的最短路被更新变小之后，x的最短路才需要进行更新判断，操作通过队列实现。
一般时间复杂度：O(m)。
最坏时间复杂度：O(n*m)。
其中n:点的个数，m:边的个数，如果出题人卡常数，那么SPFA会被卡掉。
*/
int spfa(int S) {
    //多轮使用spfa，所以一定要清空
    memset(st, 0, sizeof st);
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    d[S] = 0;

    //普通队列
    queue<int> q;
    q.push(S);
    st[S] = true; // st数组标记当前在队列中的点

    while (q.size()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        st[u] = false; //出队列，u不在队列中了

        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (d[u] + w[i] < d[j]) {
                d[j] = d[u] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (d[id[i]] == INF) return INF;
        res += d[id[i]];
    }
    return res;
}
int main() {
    //加快读入
    cin.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> p >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> id[i];

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c), add(b, a, c);
    }
    int ans = INF;
    for (int i = 1; i <= p; i++) ans = min(ans, spfa(i));
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

六、\(Floyd\)解法

通过了 8/12个数据,不能\(AC\)

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 810;
const int M = 1460;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

// 通过了 8/12个数据
int id[N], cnt[N], g[N][N];
int n, p, m, ans = INF;

void calc(int S) {
    int q = 0;
    for (int i = 1; i <= p; i++) q += g[S][i] * cnt[i];
    ans = min(ans, q);
}

int main() {
    //加快读入
    cin.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n >> p >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) { // n只奶牛
        cin >> id[i];
        cnt[id[i]]++;
    }

    // Floyd初始化
    memset(g, 0x3f, sizeof g);
    for (int i = 1; i <= p; i++) g[i][i] = 0;

    while (m--) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = c;
    }
    // 5行的Floyd算法
    for (int k = 1; k <= p; k++)
        for (int i = 1; i <= p; i++)
            for (int j = 1; j <= p; j++)
                g[i][j] = min(g[i][j], g[i][k] + g[k][j]);

    //枚举每个点为出发点
    for (int i = 1; i <= p; i++) calc(i);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}