2020 CSPJ 初赛排列组合试题解析

对数学中的排列组合数考虑了三道选择题，都有一定的难度，真的不知道在小学阶段参加这样的竞赛算不算是太超前~

排列数公式:

\[P_n^m=n \times (n-1) \times (n-2) \times ... \times (n-m+1) \]

组合数公式:

\[C_n^m=\frac{P_n^m}{P_m}=\frac{n!}{m! \times (n-m)!},C_n^0=1 \]

一、排队问题

第十题
五个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法？
先把双胞胎看成一个整体，最后再乘\(2\),表示他俩内部可以排个先后。
这样的话，就是\(4\)个整体了，排列\(4 \times 3 \times 2 \times 1 =24\)种
因为双胞胎可以前后排序，需要乘以\(2\),就是\(48\) 种。

也可以使用插空法来计算：

二、分配方案问题

第十四题
\(10\) 个三好学生名额分配到 \(7\) 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。

三、手套和袜子成对问题

点评
手套和袜子成对问题是一种比较困难的题目，解决组合问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素。

问题1
从\(6\)双不同颜色的手套中任取\(4\)只,其中恰好有一双同色的取法有______种?

试题分析：根据分步计数原理知先从\(6\)双手套中任选一双，再从其余手套中任选\(2\)只，其中包含选到一双同色手套的选法，把不合题意的去掉，得到总的选法数。

解：根据分步计数原理知先从\(6\)双手套中任选一双有 \(C_6^1\)种取法，再从其余手套中任选\(2\)只有\(C_{10}^2\)种，其中选到一双同色手套的选法为\(5\)种．故总的选法数为\(C_6^1 \times (C_{10}^2 -5)=240\)种．故填写\(240\)。

问题2
现有\(5\)双不同颜色的手套（每双手套的两只颜色相同），从中任取\(3\)只，若取出的\(3\)只手套颜色各不相同，则这样的取法有多少种（　　）

\(A．480\) \(B．360\) \(C．120\) \(D．80\)

解析：
若使取出的\(3\)只手套颜色各不相同，只需先取出三双手套，有\(C_5^3 =10\)种取法，
进而在取出的三双中，每双取出一只，有\(2×2×2=8\)种取法；
由分步计数原理可得，不同的取法有\(10×8=80\)种；
故选D．

问题3：
十五题 有五副不同颜色的手套（共 \(10\) 只手套，每副手套左右手各 \(1\) 只），一次性从中取 \(6\) 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。
\(A、120\) \(B、180\) \(C、150\) \(D、30\)

解析：
取\(6\)只，组成两副手套，那么直接先在五副中选两副：\(C_5^2=10\)
两副是\(4\)只，要一共取\(6\)只，所以，还需要剩下的\(6\)副中选择两只，而且，这两只不能是同一副的。
\(C_6^2-3=12\) 所以\(10*12=120\) 答案选\(A\)