CF580D Kefa and Dishes [洛谷]

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一、题目大意

\(kefa\)进入了一家餐厅，这家餐厅中有\(n\)个菜（\(0<n<=18\)）,\(kefa\)对第\(i\)个菜的满意度为\(a_i\)（\(0<=a_i<=10^9\)），并且对于这\(n\)个菜有\(k\)个规则，如果\(kefa\)在吃完第\(x_i\)个菜之后吃了第\(y_i\)个菜（保证\(x_i、y_i\)不相等），那么会额外获得\(c_i\)（\(0<=c_i<=10^9\)）的满意度。\(kefa\)要吃\(m\)道任意的菜（\(0<m<=n\)），但是他希望自己吃菜的顺序得到的满意度最大，请你帮帮\(kefa\)吧！

输入第一行是三个数：\(n,m,k\)

第二行是\(n\)个数，第\(i\)个数表示\(kefa\)对第\(i\)道菜的满意度为\(a_i\)

第三行到第\(k+2\)行每行有\(3\)个数：\(x_i，y_i，c_i\)，表示如果\(kefa\)在吃完第\(x_i\)道菜之后立刻吃了第\(y_i\)道菜，则会额外获得\(c_i\)的满意度

输入#1

2 2 1
1 1
2 1 1

输出#1

3

输入 #2

4 3 2
1 2 3 4
2 1 5
3 4 2

输出 #2

12

二、题目分析

翻译的人还好心的告诉我们要用状压。。。,其实看看数据范围也可以证明这一点，\(n<=18\)。而且"XXX"最大之流，看着就像是动态规划吧！

这题在一般状压的基础上加了一点变化：状态之间有联系，其实也是废话，状态之间没有冲突，没有关联，还用你来做题吗？

题目中说：这\(n\)个菜有\(k\)个规则，如果\(kefa\)在吃完第\(x_i\)个菜之后吃了第\(y_i\)个菜（保证\(x_i、y_i\)不相等），那么会额外获得\(c_i\) (\(0<=c_i<=10^9\))的满意度。
显然这是与吃菜的顺序有关的

但是再仔细考虑一下，会发现其实也是没有后效性的

因为一道菜只与它前面的那道菜有关

显然我们可以枚举要吃的菜的前面那道菜

不妨设状态\(f[i][j]\)表示当状态为\(i\)时，最后吃的一道菜为\(j\)时获得的最大满意度

• 当前状态\(i\) : \(f[i]\)

• 当前状态\(i\)包含\(j\)这道菜，且前序状态不包含\(j\)

因为\(i\)需要包含了\(j\)这道菜，即\(i\)的第\(j\)位置必须是\(1\)
前序状态不能包含\(j\)这道菜，即前序状态的第\(j\)位置需要是\(0\)
也就是：\(f[i\)^\((1<<j)]\)

可行的状态有转移方程：
\(f[i][j]=max(f[i\)^\((1<<j)][k]+A[j]+w[k][j])\)

显然当那些状态中存在\(m\)个\(1\)时（已经吃了\(m\)道菜）取\(max\)即为最后的答案

三、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 20;
int a[N], c[N][N];
int K;
int n, m;
LL f[1 << N][N], ans;

//统计某个状态中数字1的数量
int count(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < 32; i++) res += x >> i & 1;
    return res;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> K;
    for (int i = 0; i < n; i++) { //下标从0开始
        cin >> a[i];
        f[1 << i][i] = a[i];      //只吃一个的初始化
    }
    while (K--) {
        int x, y, w;
        cin >> x >> y >> w;
        x--, y--;                 //状态压缩的套路
        c[x][y] = w;              //记录x,y的前后关联关系
    }
    for (int i = 0; i < (1 << n); i++) {        //枚举所有状态
        for (int j = 0; j < n; j++) {           //枚举每一位
            if ((i & (1 << j)) == 0) continue;  //不包含j的不是本次要计算的状态
            for (int k = 0; k < n; k++) {       //枚举前一次最后一个菜k,看看会不会获取到更大的满意度
                /*
                1、本轮吃下j，最后形成i这样的状态，那么上轮没有j,状态为 i^(1<<j)
                2、上轮的状态是固定的，那么上轮的什么是不固定的呢？
                答案:最后吃的是什么不固定！我们需要枚举所有上轮最后一个菜吃的是什么东西。
                很显然，上轮最后一个菜不能是j。
                如果上轮最后一个菜是k,本轮还只能吃j，则本轮的结果中必然包含k!
                如果不包含k,那么k是天上掉下来的吗？这就是本题的状态之间关联关系的推导过程
                由此可见，状态压缩DP的精髓在于：
                状态的转移关系确定！
                */
                if (j == k || (!(i & (1 << k))))continue;//相同或没吃过k不合法
                //dp转移方程
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i ^ (1 << j)][k] + a[j] + c[k][j]);
            }
            //已经吃了m个菜就统计答案
            if (m == count(i))ans = max(ans, f[i][j]);
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}