875. 快速幂

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一、概念与原理

快速幂：快速求出 (a^k mod p) 的值， 比如 (2^{100} \% 7) 。

快速幂算法的原理是通过将指数拆分成几个因数相乘的形式，来简化幂运算。在我们计算(3^{13}) 的时候，普通的幂运算算法需要计算(13-1)次，但是如果我们将它拆分成(3^{8+4+1}) ,只需要计算(4)次。嗯？哪来的(4)次？，别急，接着看。

这种拆分思想其实就是借鉴了二进制与十进制转换的算法思想，我们知道(13)的二进制是(1101)，可以知道：
(13=1 imes2^{3} + 1 imes2^{2} + 0 imes2^{1} + 1 imes2^{0} = 8 + 4 + 1)

原理就是利用位运算里的位移“>>”和按位与“&”运算，代码中 (k & 1)其实就是求(k)对应二进制数字的最低位是(0)还是(1)，再根据是(0)还是(1)决定乘不乘，不理解的话联系一下二进制转换的过程。(k >>= 1)其实就是将(k)的二进制向右移动一位，就这样位移、取最低位、位移、取最低位，这样循环计算，整个过程和我们手动将二进制转换成十进制是非常相似的。

普通幂算法是需要循环指数次，也就是指数是多少就要循环计算多少次，而快速幂因为利用了位移运算，只需要算“指数二进制位的位数”次，对于(13)来说，二进制是(1101)，有(4)位，就只需要计算(4)次，快速幂算法时间复杂度是(O(log_n))级别，对于普通幂需要计算一百万次的来说，快速幂只需要计算(6)次，这是速度上质的飞跃，但是需要多注意溢出的问题。

二、同余的性质

性质1：
((a + b)\% p = (a\% p + b\% p)\% p)

性质2：
((a - b)\% p = (a\% p - b\% p )\% p)

性质3：
((a * b)\% p = (a\% p * b\% p)\% p)

这里需要注意的是，除法可没有这个性质，那样用逆元来运算了！

三、完整代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;
int n;


// 快速幂取模 (a^k)%p
LL qmi(int a, int k, int p) {
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL) res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL) a * a % p;
    }
    return res;
}

int main() {
    //读入优化
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    while (n--) {
        int a, k, p;
        cin >> a >> k >> p;
        printf("%d
", qmi(a, k, p));
    }
    return 0;
}