P1414 又是毕业季II

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一、准备知识

求一个数x的所有约数

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int c[N];

/**
 * 功能：获取指定数x的所有约数
 * @param x
 */
void ys(int x) {
    for (int i = 1; i <= sqrt(x); i++)
        //有约数
        if (x % i == 0) {
            c[i]++;  //i作为约数的次数++
            //记录另一个相对的约数
            //x!=i*i 防止记录重复,如果是完全平方，就记一个，这个是大的
            if (x != i * i) c[x / i]++;
        }
}

int main() {
    int x = 120;
    //获得所有的约数
    ys(x);
    for (int i = 1; i <= x; i++)
        for (int j = 1; j <= c[i]; j++) {
            cout << i;
            if (i < x) cout << "*";
        }

    return 0;
}

二、解题思路

思路：

(i)个数的公约数含义：(i)个数均含有某个约数，可以把所有数的约数全部求出来。

如果(i)个数均含有某个因数，那么这个因数必然是这(i)个数的公约数。

最大的就是它们的最大公约数。

总结：
1、(1)个数的最大公约数是它本身，这是本题给出的定义。下面的题解，也都是依照这个定义。

2、分解质因数+质因数个数 为(c[N]),(0<=i<N),(i)是指质因数，(c[i])是指质因数(i)同现的次数。

3、想找出在(n)个数中选择(i)个数时的最大公约数,这意味着： (1<=i<=n)

• (c[m]>=i) 其中(m)表示因子(m)出现的次数大于等于(i)，选择了(i)个数字时，可能产生的公约数就是(m)。

• 那么，如何保证是最大呢？我们在计算每个数时，记录了最大约数(m),这是最大公约数的上限！

• (while)循环，如果(m)的个数((c[m]))小于(i),表示这个数字(m)无法成为(i)个数字的约数。减小(1)继续尝试。

当找到第一个符合条件的数字时，它就是最大公约数。

(3)、每增大一个(i),即选择的数字越多，最大公约数只可能不变或变小,不可能变大，所以(m)值可以继续复用。这里很巧妙！

三、C++代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n;      //n个同学的能力值
int m;      //当前情况下可能的最大公约数
int c[N];   //每个约数i出现的次数c[i]

/**
 * 功能：获取指定数x的所有约数
 * @param x
 */
void ys(int x) {
    for (int i = 1; i <= sqrt(x); i++)
        //有约数
        if (x % i == 0) {
            c[i]++;  //i作为约数的次数++
            //记录另一个相对的约数
            //x!=i*i 防止记录重复,如果是完全平方，就记一个，这个是大的
            if (x != i * i) c[x / i]++;
        }
}

int main() {
    cin >> n;
    //读入n个能力值
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        m = max(m, x); //记录目前最大能力值
        //找出所有约数
        ys(x);
    }

    //在n个数中选择i个数字，求可能产生的最大公约数。
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (c[m] < i) m--;
        cout << m << endl;
    }
    return 0;
}