MATLAB模拟布丰投针实验
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Buffon's Needle
桌面上有距离为a的若干平行线，将长度为L的针随机丢在桌面上，则这根针与平行线相交的概率是多少？假定L < a.
思路：从针据横线的距离与夹角得出。
解决：
- 假设针的中点到最近横线的距离为y，则(yin[0,frac{a}{2}]);
- 因为投针是随机的，所以y服从均匀分布：
[ f(y) =
egin{cases}
frac{2}{a}, & ext{$0 leq y leq frac{a}{2}$} \
0, & ext{others}
end{cases}
]
- 假定横线向右为正向，记投针与横线正向的角为( heta)，则( heta in[0, pi]),为均匀分布。
[f( heta) =
egin{cases}
frac{1}{pi}, & ext{$0 leq heta leq pi$} \
0, & ext{others}
end{cases}
]
投针与横线有交点，即(y leq frac{L}{2}sin heta)
布丰投针估算(pi) -- 蒙特卡罗模拟
针与横线有交点的概率：
(P(x) = int_{0}^{pi}int_{0}^{frac{L}{2}sin heta}f(y, heta)dyd heta = int_{0}^{pi}int_{0}^{frac{L}{2}sin heta}f(y)f( heta)dyd heta \
= int_{0}^{pi}int_{0}^{frac{L}{2}sin heta}frac{2}{a} * frac{1}{pi}dyd heta = frac{2L}{api})
如果做n次投针实验，其中有k次针与横线相交，则针与横线相交的频率为：(frac{k}{n}),根据大数定理，频率也就为概率。
$ frac{2L}{api} approx frac{k}{n}$ 即， (pi approx frac{2Ln}{ak})
MATLAB模拟实验
用布丰投针实验近似计算(pi)的值：
代码如下：
l = 0.6; %针的长度
a = 1; %平行线的宽度
n = 1000000; %做n次投针试验
k = 0; %记录针与平行线相交的次数
y = unifrnd(0, a/2, 1, n); %在[0, a/2]内服从均匀分布随机产生n个数
theta = unifrnd(0, pi, 1, n); %在[0, pi]内服从均匀分布随机产生n个数
for i=1:n
if y(i) < (l/2)*sin(theta(i))
k = k + 1;
end
end
f = k / n;
Pi = (2*l*n)/(a*k);
结果如图所示：
如此进行多次实验，进行估计。
如图为进行100次重复投针实验，每次投针1000000次，结果如图所示：
