浮点数存储格式学习：找到非规格数中最大和最小的数

在学习《深入理解计算机系统》的浮点数存储里，我想到一个问题，单精度浮点数中，非规格浮点数最大数是几？

00000000011111111111111111111111

符号位：0

指数域：00000000

小数域：11111111111111111111111

指数域全0，小数域全1，符号位0，这个数应该是非规格数中最大的一个了，那么这个数存在吗？计算机是这样存储的吗？

单精度浮点数：符号位1个，指数位8个，小数位23个，偏置值bias=127，E=1-bias=-126，M=f=(0.11111111111111111111111)₂

根据存储定义：浮点数V=(-1)^sM2^E，V=（0.11111111111111111111111)₂ * 2^-126

让我们开始编程查看一下吧：

#include <cstdio>
int main(){
    float a=0.5,c=0.5;
//第一个for是将a的值累加到（0.111...11),注意0.5在二进制下就是0.1
    for(int i=0;i<22;i++){
        c*=0.5;
        a=a+c;
    }
//第二个for将a和2-126相乘。
    for(int i=0;i<126;i++){
        a*=0.5;
    }
    unsigned int b=*(int *)&a;
    for(int i=0;i<32;i++){
        printf("%d",(b>>(31-i))&1?1:0);
    }
    printf("
b=%d
",b);
    return 0;
}

输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t
00000000011111111111111111111111
b=8388607     //震惊，连b的值都有意义了，8388607=223-1

解释：第一个for中，将循环次数设为22，是因为a本身有一个1，只需再加22个就够了。更有意思的是：如果把次数改为23，则全0，也就是浮点数的0了，如果改为24，那么就是规格数中最小的一个喽，呵呵，有意思，终于理解《深解》说的平滑过渡啥意思了。

那么这个最大的非规格浮点数到底是多少呢？在上面程序加上一句：

printf("%.200f
",a);

输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t
00000000011111111111111111111111
a=0.00000000000000000000000000000000000001175494210692441075487029444849287348827052428745893333857174530571588870475618904265502351336181163787841796875000000000000000000000000000000000000000000000000000

最后面的0可以删除，这样是为了看着方面，确认没数了。这个数最大的非规格浮点数是：

a=0.00000000000000000000000000000000000001175494210692441075487029444849287348827052428745893333857174530571588870475618904265502351336181163787841796875

数字前面有37个0，a*10³⁸约等于1.1755，这还是非规格数里面最大的一个，晕。

那么最小的非规格数是多少呢？基本和前面同理：

#include <cstdio>
int main(){
    float a=0.5;
    for(int i=0;i<22;i++){
        a*=0.5;
    }
    for(int i=0;i<126;i++){
        a*=0.5;
    }
    unsigned int b=*(int *)&a;
    for(int i=0;i<32;i++){
        printf("%d",(b>>(31-i))&1?1:0);
    }
    printf("
a=%.200f
",a);
    printf("
b=%d
",b);
    return 0;
}

输出：

vagrant@ubuntu-bionic:~$ ./t1
00000000000000000000000000000001
a=0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125000000000000000000000000000000000000000000000000000

b=1

这就是浮点数，如果你懂它，它也很精确的。