• [BZOJ2863]愤怒的元首


    Description:

    Pty生活在一个奇葩的国家,这个国家有n个城市,编号为1~n。

    ​ 每个城市到达其他城市的路径都是有向的。

    ​ 不存在两个城市可以互相到达。

    这个国家的元首现在很愤怒,他大喊一声“气死偶咧!”,然后决定把所有的路径都毁掉再重建。

    元首想知道有多少种重建的方案使得这个国家仍然奇葩。

    Hint:

    (n le 3000)

    Solution:

    这题已经是弱化版了...原题1e5数据范围听说要分治FFT?不会不会

    回到题目

    直接求貌似不好求

    考虑设 (g[i]=(^{ i}_{ j})*f[i-j]*2^{i*(i-j)}) 表示(i)个点的图至少(j)个入度为0的点的方案数

    我们用(g[i])来容斥,有(n)个点的(DAG)方案数(f[n]):

    (f[n]=sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} *( ^{ n}_{ i})*f[n-i]*2^{j*(i-j)})

    为什么呢,因为每个入度为0个数大于(i)的方案都会在(g[i])中被算重(C_{n}^i)

    所以容斥后就是对的

    #include <map>
    #include <set>
    #include <stack>
    #include <cmath>
    #include <queue>
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <cstdlib>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #define ls p<<1 
    #define rs p<<1|1
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int mxn=3e4+5,mod=1e9+7;
    int n;
    int a[mxn],fac[mxn],inv[mxn],f[mxn];
    inline int read() {
    	char c=getchar(); int x=0,f=1;
    	while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    	while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
    	return x*f;
    }
    inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
    inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}
    
    struct ed {
    	int to,nxt;
    }t[mxn<<1];
    
    int qpow(int a,int b)
    {
    	int res=1,base=a;
    	while(b) {
    		if(b&1) res=1ll*base*res%mod;
    		base=1ll*base*base%mod;
    		b>>=1;
    	}
    	return res;
    }
    
    int main()
    {
    	n=read(); fac[0]=inv[0]=inv[1]=f[0]=f[1]=1;
    	for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    	for(int i=2;i<=n;++i) 
    		for(int j=1,opt=-1;j<=i;++j) {
    			opt*=-1;
    			f[i]=(f[i]+1ll*opt*f[i-j]*qpow(2,j*(i-j))%mod*qpow(fac[i-j],mod-2)%mod*qpow(fac[j],mod-2)%mod*fac[i]%mod)%mod;
    		}
    	printf("%d",(f[n]+mod)%mod);	
        return 0;
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/list1/p/10509592.html
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