Description:
Pty生活在一个奇葩的国家,这个国家有n个城市,编号为1~n。
每个城市到达其他城市的路径都是有向的。
不存在两个城市可以互相到达。
这个国家的元首现在很愤怒,他大喊一声“气死偶咧!”,然后决定把所有的路径都毁掉再重建。
元首想知道有多少种重建的方案使得这个国家仍然奇葩。
Hint:
(n le 3000)
Solution:
这题已经是弱化版了...原题1e5数据范围听说要分治FFT?不会不会
回到题目
直接求貌似不好求
考虑设 (g[i]=(^{ i}_{ j})*f[i-j]*2^{i*(i-j)}) 表示(i)个点的图至少有(j)个入度为0的点的方案数
我们用(g[i])来容斥,有(n)个点的(DAG)方案数(f[n]):
(f[n]=sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} *( ^{ n}_{ i})*f[n-i]*2^{j*(i-j)})
为什么呢,因为每个入度为0个数大于(i)的方案都会在(g[i])中被算重(C_{n}^i)次
所以容斥后就是对的
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ls p<<1
#define rs p<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mxn=3e4+5,mod=1e9+7;
int n;
int a[mxn],fac[mxn],inv[mxn],f[mxn];
inline int read() {
char c=getchar(); int x=0,f=1;
while(c>'9'||c<'0') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c<='9'&&c>='0') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15);c=getchar();}
return x*f;
}
inline int chkmax(int &x,int y) {if(x<y) x=y;}
inline int chkmin(int &x,int y) {if(x>y) x=y;}
struct ed {
int to,nxt;
}t[mxn<<1];
int qpow(int a,int b)
{
int res=1,base=a;
while(b) {
if(b&1) res=1ll*base*res%mod;
base=1ll*base*base%mod;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
n=read(); fac[0]=inv[0]=inv[1]=f[0]=f[1]=1;
for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1,opt=-1;j<=i;++j) {
opt*=-1;
f[i]=(f[i]+1ll*opt*f[i-j]*qpow(2,j*(i-j))%mod*qpow(fac[i-j],mod-2)%mod*qpow(fac[j],mod-2)%mod*fac[i]%mod)%mod;
}
printf("%d",(f[n]+mod)%mod);
return 0;
}