题意
给出一个(n)个点(m)条边的有向图((n,m<=100000)),从中选择(k)个点((k<=n)),问这k个点两两之间的最短路最小值是多少?
思路
直接的想法是对于每个点求一遍最短路,这样一共要跑n次最短路,时间复杂度(O(nmlogm))。
考虑两个点集(S1)和(S2)之间的最短路,我们可以跑一次最短路求出来。
具体可以新建虚拟源点(s)和虚拟汇点(t),(s)和(S1)的每个点之间连一条零边,(t)同理。
那么这一次最短路就相当与求出了(|S1| imes |S2|)对关系之间的最短路最小值。
通过二进制分组,我们完全可以使复杂度优化到(O(mlogmlogn))。
枚举顶点标号的二进制的每一位,如果这一位为(1),那么把这个点分到(S1),否则分到(S2)。
由于是有向边,还需要反过来求一遍。
代码
# include <cstdio>
# include <cstring>
# include <cstdlib>
# include <iostream>
# include <vector>
# include <queue>
# include <stack>
# include <map>
# include <set>
# include <cmath>
# include <algorithm>
using namespace std;
# define lowbit(x) ((x)&(-x))
# define pi acos(-1.0)
# define eps 1e-3
# define MOD 100000007
# define INF 1000000000
# define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
# define FOR(i,a,n) for(int i=a; i<=n; ++i)
# define FO(i,a,n) for(int i=a; i<n; ++i)
# define bug puts("H");
# define lch p<<1,l,mid
# define rch p<<1|1,mid+1,r
# define mp make_pair
# define pb push_back
typedef pair<int,int> PII;
typedef vector<int> VI;
# pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
typedef long long LL;
const int N=100005;
//Code begin...
struct qnode{
int v;
LL c;
qnode(int _v=0, LL _c=0):v(_v),c(_c){}
bool operator <(const qnode &r)const{return c>r.c;}
};
struct Edge{int p, next, w;}edge[N<<1];
struct Node{int u, v, w;}node[N];
int head[N], cnt=1, id[N];
LL dist[N];
bool vis[N];
priority_queue<qnode>que;
const int P=16;
void add_edge(int u, int v, int w){
edge[cnt].p=v; edge[cnt].next=head[u];
edge[cnt].w=w; head[u]=cnt++;
}
void init(){mem(head,0); cnt=1;}
void Dijkstra(int n, int start){
mem(vis,false); FOR(i,0,n) dist[i]=(LL)1<<60;
dist[start]=0; que.push(qnode(start,0));
qnode tmp;
while (!que.empty()) {
tmp=que.top(); que.pop();
int u=tmp.v;
if (vis[u]) continue;
vis[u]=true;
for (int i=head[u]; i; i=edge[i].next) {
int v=edge[i].p, cost=edge[i].w;
if (!vis[v]&&dist[v]>dist[u]+cost) {
dist[v]=dist[u]+cost;
que.push(qnode(v,dist[v]));
}
}
}
}
int main ()
{
int T, n, m, u, v, w, s, t, K;
scanf("%d",&T);
FOR(cas,1,T) {
LL ans=(LL)1<<60;
scanf("%d%d",&n,&m); s=0; t=n+1;
FOR(i,1,m) scanf("%d%d%d",&node[i].u,&node[i].v,&node[i].w);
scanf("%d",&K);
FOR(i,1,K) scanf("%d",id+i);
FOR(i,0,P) {
init();
FOR(j,1,m) add_edge(node[j].u,node[j].v,node[j].w);
FOR(j,1,K) {
if ((id[j]>>i)&1) add_edge(s,id[j],0);
else add_edge(id[j],t,0);
}
if (!head[s]) continue;
Dijkstra(t,s);
ans=min(ans,dist[t]);
}
FOR(i,0,P) {
init();
FOR(j,1,m) add_edge(node[j].u,node[j].v,node[j].w);
FOR(j,1,K) {
if ((id[j]>>i)&1) add_edge(id[j],t,0);
else add_edge(s,id[j],0);
}
if (!head[s]) continue;
Dijkstra(t,s);
ans=min(ans,dist[t]);
}
printf("Case #%d: %lld
",cas,ans);
}
return 0;
}