丑数

题目描述
把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

方法一
所谓一个数m是另外一个数n的因子，就是说n能被m整除(n % m == 0)，根据丑数定义，丑数只能被2, 3, 5整除，也就是说如果一个数能被2整除，就连续除以2，如果能被3整除，就连续除以3，如果能被5整除，那么就连续除以5，如果最后得到的是1，那么这个数就是丑数。

    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
    	if(index == 0) {
    		return 0;    		
    	}
    	
    	int uglyFound = 0;
    	int number = 0;

    	while(uglyFound < index) {
    		++number;
    		
    		if(JudgeUgly(number)) {
    			++uglyFound;
    		}
    	}
    	return number;
    }
    
    public boolean JudgeUgly(int i) {
    	while(i % 2 == 0) 
    		i = i / 2;
    	while(i % 3 == 0)
    		i = i / 3;
    	while(i % 5 == 0)
    		i = i / 5;
    	return (i == 1) ? true : false;
    }

但是这种方法的算法复杂度太大。

方法二
参考一个大神思路：高琥（牛客网）

首先从丑数的定义我们知道，一个丑数的因子只有2,3,5，那么丑数p = 2 ^ x * 3 ^ y * 5 ^ z，换句话说一个丑数一定由另一个丑数乘以2或者乘以3或者乘以5得到，那么我们从1开始乘以2,3,5，就得到2,3,5三个丑数，在从这三个丑数出发乘以2,3,5就得到4，6,10,6，9,15,10,15,25九个丑数，我们发现这种方法会得到重复的丑数，而且我们题目要求第N个丑数，这样的方法得到的丑数也是无序的。那么我们可以维护三个队列：
（1）丑数数组： 1
乘以2的队列：2
乘以3的队列：3
乘以5的队列：5
选择三个队列头最小的数2加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；
（2）丑数数组：1,2
乘以2的队列：4
乘以3的队列：3，6
乘以5的队列：5，10
选择三个队列头最小的数3加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；
（3）丑数数组：1,2,3
乘以2的队列：4,6
乘以3的队列：6,9
乘以5的队列：5,10,15
选择三个队列头里最小的数4加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；
（4）丑数数组：1,2,3,4
乘以2的队列：6，8
乘以3的队列：6,9,12
乘以5的队列：5,10,15,20
选择三个队列头里最小的数5加入丑数数组，同时将该最小的数乘以2,3,5放入三个队列；
（5）丑数数组：1,2,3,4,5
乘以2的队列：6,8,10，
乘以3的队列：6,9,12,15
乘以5的队列：10,15,20,25
选择三个队列头里最小的数6加入丑数数组，但我们发现，有两个队列头都为6，所以我们弹出两个队列头，同时将12,18,30放入三个队列；
……………………
疑问：
1.为什么分三个队列？
丑数数组里的数一定是有序的，因为我们是从丑数数组里的数乘以2,3,5选出的最小数，一定比以前未乘以2,3,5大，同时对于三个队列内部，按先后顺序乘以2,3,5分别放入，所以同一个队列内部也是有序的；
2.为什么比较三个队列头部最小的数放入丑数数组？
因为三个队列是有序的，所以取出三个头中最小的，等同于找到了三个队列所有数中最小的。
实现思路：
我们没有必要维护三个队列，只需要记录三个指针显示到达哪一步；“|”表示指针,arr表示丑数数组；
（1）1
|2
|3
|5
目前指针指向0,0,0，队列头arr[0] * 2 = 2, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5
（2）1 2
2 |4
|3 6
|5 10
目前指针指向1,0,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[0] * 3 = 3, arr[0] * 5 = 5
（3）1 2 3
2| 4 6
3 |6 9
|5 10 15
目前指针指向1,1,0，队列头arr[1] * 2 = 4, arr[1] * 3 = 6, arr[0] * 5 = 5
………………

代码：

    public int GetUglyNumber_Solution_2(int index) {
    	if(index < 7) return index;
    	int[] res = new int[index];
    	res[0] = 1;
    	int t2 = 0, t3 = 0, t5 = 0, i;
    	for (i = 1; i < index; i++) {
			res[i] = Math.min(res[t2] * 2, Math.min(res[t3] * 3, res[t5] * 5));
			if(res[i] == res[t2] * 2) t2++;
			if(res[i] == res[t3] * 3) t3++;
			if(res[i] == res[t5] * 5) t5++;
		}
    	return res[index - 1];
    }