• 洛谷P1044栈(DP)


    题目背景

    栈是计算机中经典的数据结构,简单的说,栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

    栈有两种最重要的操作,即poppoppop(从栈顶弹出一个元素)和pushpushpush(将一个元素进栈)。

    栈的重要性不言自明,任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时,想到了一个书上没有讲过的问题,而他自己无法给出答案,所以需要你的帮忙。

    题目描述

    宁宁考虑的是这样一个问题:一个操作数序列,1,2,...,n1,2,...,n1,2,...,n(图示为1到3的情况),栈AAA的深度大于nnn。

    现在可以进行两种操作,

    1. 将一个数,从操作数序列的头端移到栈的头端(对应数据结构栈的pushpushpush操作)

    2. 将一个数,从栈的头端移到输出序列的尾端(对应数据结构栈的poppoppop操作)

    使用这两种操作,由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列,下图所示为由1231 2 3123生成序列2312 3 1231的过程。

    (原始状态如上图所示)

    你的程序将对给定的nnn,计算并输出由操作数序列1,2,…,n1,2,…,n1,2,,n经过操作可能得到的输出序列的总数。

    输入格式

    输入文件只含一个整数n(1≤n≤18)n(1≤n≤18)n(1n18)

    输出格式

    输出文件只有111行,即可能输出序列的总数目

    输入输出样例

    输入 #1 
    3
    
    输出 #1 
    5
    这题实际上是卡特兰数,既然标签是DP就考虑DP解法。设dp[i][j]表示i个数还没入栈,j个数在栈里,n-i-j个数已经出栈的最大方案数,则转移方程可以写出:dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1]。要么选择把一个数入栈,要么选择一个数出栈。注意当j=0时即栈内没有数,这时候只能选择把一个数入栈。然后看边界,当i=0时,所有数要么在栈内要么已经出栈,这时候只有一种情况,所以赋值为1。要求的是dp[n][0]
    所以i从1~n,j从0~n-i进行更新。可以看出,这个题是从结果(出栈序列已知的方案数)向初始情况更新。
    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int dp[20][20]={0};//dp[i][j]表示i个数还没入栈,j个数在栈里,n-i-j个数已经出栈的最大方案数 dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1] //dp[0][j]=1 所有数都在栈里 只有一种方式 
    int main()
    {
        int n;
        cin>>n;
        int i,j;
        dp[0][0]=1;
        for(j=0;j<=n;j++)dp[0][j]=1;
        for(i=1;i<=n;i++)//注意是从1开始 
        {
            for(j=0;j<=n-i;j++)
            {
                if(j!=0)dp[i][j]=dp[i-1][j+1]+dp[i][j-1];
                else dp[i][j]=dp[i-1][j+1];
            }
         } 
         cout<<dp[n][0];
        return 0;
    }
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