洛谷P2330 [SCOI2005]繁忙的都市

题目描述

城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市C的道路是这样分布的：城市中有n个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的要求：

1．改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。 2．在满足要求1的情况下，改造的道路尽量少。 3．在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。

任务：作为市规划局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

输入格式

第一行有两个整数n,m表示城市有n个交叉路口，m条道路。

接下来m行是对每条道路的描述，u, v, c表示交叉路口u和v之间有道路相连，分值为c。(1≤n≤300，1≤c≤10000，1≤m≤100000)

输出格式

两个整数s, max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

输入输出样例

输入 #1 

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

输出 #1 

3 6
观察题目给出的要求就能知道这其实是一道最小生成树裸题。主要是这里有一个瓶颈生成树的概念。

百度百科：

瓶颈生成树 ：无向图G的一颗瓶颈生成树是这样的一颗生成树，它最大的边权值在G的所有生成树中是最小的。瓶颈生成树的值为T中最大权值边的权。

无向图的最小生成树一定是瓶颈生成树，但瓶颈生成树不一定是最小生成树。（最小瓶颈生成树==最小生成树）

命题：无向图的最小生成树一定是瓶颈生成树。

证明：可以采用反证法予以证明。

假设最小生成树不是瓶颈树，设最小生成树T的最大权边为e，则存在一棵瓶颈树Tb，其所有的边的权值小于w(e)。删除T中的e，形成两棵数T', T''，用Tb中连接T', T''的边连接这两棵树，得到新的生成树，其权值小于T，与T是最小生成树矛盾。[1-2] 

命题：瓶颈生成树不一定是最小生成树。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct rec
{
    int x;
    int y;
    int z;
}edge[100005];
bool cmp(rec a,rec b)
{
    return a.z<b.z;
}
int fa[305];
int n,m,ans;
int get(int x)
{
    if(x==fa[x])return x;
    return fa[x]=get(fa[x]);
 } 
int main()
{
    cin>>n>>m;
    int i,j;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        edge[i].x=a;
        edge[i].y=b;
        edge[i].z=c;
    }
    sort(edge+1,edge+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int x=get(edge[i].x);
        int y=get(edge[i].y);
        if(x==y)continue;
        fa[x]=y;
        ans=max(ans,edge[i].z);
     } 
     cout<<n-1<<' '<<ans;
    return 0;
}