洛谷 P2258 子矩阵

题目描述

给出如下定义：

1. 子矩阵：从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵（保持行与列的相对顺序）被称为原矩阵的一个子矩阵。

例如，下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2×3的子矩阵如右图所示。

9 3 3 3 9

9 4 8 7 4

1 7 4 6 6

6 8 5 6 9

7 4 5 6 1

的其中一个2×3的子矩阵是

4 7 4

8 6 9

2. 相邻的元素：矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素（如果存在的话）是相邻的。

3. 矩阵的分值：矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。

本题任务：给定一个n行m列的正整数矩阵，请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵，使得这个子矩阵的分值最小，并输出这个分值。

(本题目为2014NOIP普及T4)

输入输出格式

输入格式：

第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c，意义如问题描述中所述，每两个整数之间用一个空格隔开。

接下来的n行，每行包含m个用空格隔开的整数，用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。

输出格式：

 

一个整数，表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。

输入输出样例

输入样例#1： 

5 5 2 3
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1

输出样例#1： 

6

输入样例#2： 

7 7 3 3  
7 7 7 6 2 10 5
5 8 8 2 1 6 2 
2 9 5 5 6 1 7 
7 9 3 6 1 7 8 
1 9 1 4 7 8 8 
10 5 9 1 1 8 10
1 3 1 5 4 8 6

输出样例#2： 

16

说明

【输入输出样例1说明】

该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成，为

6 5 6

7 5 6

，其分值为:

|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。

【输入输出样例2说明】

该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成，选取的分值最小的子矩阵为

9 7 8
9 8 8
5 8 10

【数据说明】

对于%50%的数据，1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12，矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 20

对于%100%的数据，1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16，矩阵中的每个元素1 ≤ a_{ij} ≤ 1,000,1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m

解题思路:

边搜索边DP,用深搜枚举出所有行列组合情况(全排列),再用f[i][j]表示已经选了i列，最后一列是j的最小分数,用w[i]表示第i列这行之前的绝对值和，v[i][j]表示第i列到j列间绝对值和 .

状态转移方程:f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);

AC代码:

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>

using namespace std;

int n,m,c,r,a[18][18],rec[18],f[18][18],w[18],v[18][18],ans = 1 << 30; //w[i] 第i列这行之前的绝对值和，v[i][j]第i列到j列间绝对值和 
//f[i][j]表示已经选了i列，最后一列是j的最小分数

void dp() {
    memset(f,127,sizeof(f));
    memset(w,0,sizeof(w));
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i = 1;i <= m; i++) 
        for(int j = 1;j < r; j++)
            w[i] = w[i] + abs(a[rec[j]][i] - a[rec[j+1]][i]);
    for(int i = 1;i <= m; i++)
        for(int j = i + 1;j <= m; j++)
            for(int k = 1;k <= r; k++)
                v[i][j] = v[i][j] + abs(a[rec[k]][i] - a[rec[k]][j]);
    f[0][0] = 0;
    for(int i = 1;i <= c; i++)
        for(int  j = i;j <= m; j++)
            for(int k = 0;k < j; k++)
                f[i][j] = min(f[i-1][k] + w[j] + v[k][j],f[i][j]);//状态转移 
    for(int i = 1;i <= m; i++)
        ans = min(ans,f[c][i]);    //找最小答案        
}

void dfs(int x,int y) {//目前在第y行是哪一行,第x行为候选行 
    if(y > r) {
        dp();
        return ;
    }
    if(x > n) return ;
    dfs(x + 1,y);//不选 
    rec[y] = x;//第y行为第x行 
    dfs(x + 1,y + 1);//选 
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&r,&c);
    for(int i = 1;i <= n; i++)
        for(int j = 1;j <= m; j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
    dfs(1,1);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}